问题：不等式

pipi

设 x, y 为任意实数。
证明：|(sin x)^2 - (sin y)^2|<= |x - y|

[size=1.5](用三角学里的恒等式)

因为
|(sin x)^2 - (sin y)^2|
=|(sin x + sin y) (sin x - sin y)|
=|{ 2 (sin((x+y)/2) cos((x-y)/2)} { 2 (cos((x+y)/2))sin((x-y)/2) }|
=| sin(x+y)sin(x-y)|
<= |sin(x-y)|         (因为 |sin(A)|<= 1 for all A in R)
<= |x-y|              (因为 |sin(A)|<= |A| for all A in R)



[ Last edited by pipi on 17-5-2004 at 09:04 PM ]

pipi

关于这个问题的小小故事：
有天我与某个朋友看到这个问题，
他说：用了微积分的方法，没两下子就可以搞掂！！
pipi不服气，坚持不用微积分，心想一定有＂简单的＂（即中学生可懂的）方法。
结果，一个晚上的时间。。。没有做到。。。
不过，早上醒来时，莫明其妙解到了。。

Er...老实说，用了微积分的方法，是比较简单的。。。

基本上，将微兄的方法稍微整理整理，便行了。
若没人要试，我下个礼拜一给答案。。。

[ Last edited by pipi on 18-5-2004 at 02:42 PM ]

pipi

设 x, y 为任意实数。
证明：|(sin x)^2 - (sin y)^2|<= |x^2 - y^2|

这个问题，也可用三角学里的恒等式。（与之前的做法不相上下）

设 x, y 为任意实数。
证明：|(sin x)^2 - (sin y)^2|<= |x - y|

因为
|(sin x)^2 - (sin y)^2|
=|(sin x + sin y) (sin x - sin y)|
=|{ 2 (sin((x+y)/2) cos((x-y)/2)} { 2 (cos((x+y)/2))sin((x-y)/2) }|
=| sin(x+y)sin(x-y)|
<= |sin(x-y)|         (因为 |sin(A)|<= 1 for all A in R)
<= |x-y|              (因为 |sin(A)|<= |A| for all A in R)

因为
|(sin x)^2 - (sin y)^2|
=|(sin x + sin y) (sin x - sin y)|
=|{ 2 (sin((x+y)/2) cos((x-y)/2)} { 2 (cos((x+y)/2))sin((x-y)/2) }|
=| sin(x+y)sin(x-y)|
<= |(x+y)(x-y)|              (因为 |sin(A)|<= |A| for all A in R)
<=|x^2 - y^2|

[ Last edited by pipi on 18-5-2004 at 02:40 PM ]

pipi

设 x, y 为任意实数。
证明：|(sin x)^2 - (sin y)^2|<= |x - y|

设f(x) = (sin x)^2
所以 f '(x) = 2 sin(x) cos(x) = sin(2x)

若 x = y, 显然 0 =  |(sin x)^2 - (sin y)^2|<= |x - y| = 0

若 x ≠ y,
用 Mean Value Theorem,
(f(x) - f(y))/(x - y) = sin(2c), c 在 x 和 y 之间.
因为 |sin(2c)| <= 1,
我们有 |(f(x) - f(y))/(x - y)| <= 1
所以   |f(x) - f(y)| <= |x - y|
即     |(sin x)^2 - (sin y)^2|<= |x - y|
证毕。

pipi

若 x, y, z > 0
求证：
(y/(y+x))^2 + (z/(z+y))^2 + (x/(x+z))^2 >= 3/4

pipi

pipi 于 24-5-2004 12:52 PM  说 :
若 x, y, z > 0
求证：
(y/(y+x))^2 + (z/(z+y))^2 + (x/(x+z))^2 >= 3/4

给个提示： （当然不一定用这个方法做）
可设
a = x/y, b = y/z, c = z/x

铁蛋

给了提示却还是弄不到。。。惭愧。。。 楼主贴解吧！

pipi

铁蛋，别灰心，你可以的。。。
其他在看贴子的网友，也来玩玩吧。。。

试过了，暂时还是解不到。我也是

我也暂时解不到这不等式。
不过有了一些头绪，也就是用 Quadratic Mean 和 Harmonic Mean
但是之中会有一些问题。

情~風

思考中....這題不簡單...

Sorry guys,
my computer is experiencing problem.
I can't key-in Chinese.(I can't even read my sms.)

I think I have solved the problem.( quiet tedious)
My hint is
let u = y+x,
    v = z+y,
and w = x+z.

IronEgg, I can't read your sms.

flyingfish

惭愧,我也没有满意的作法..

证明(y/(y+x))^2 + (z/(z+y))^2 + (x/(x+z))^2 >=3/4
a = x/y, b = y/z, c = z/x, c=1/(ab)

[a^(1/2) -1]^2>=0
a+1 >= 2a^(1/2)
1/(1+a)^2<=1/(4a)

1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2<=1/4 (1/a+1/b+1/c)
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/[1+1/(ab)]^2<=1/4 (1/a+1/b+ab)
但这是<=, 而不是题目的>=.
能找到min[1/4(1/a+1/b+ab)]是当a=1,b=1,
min[1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/[1+1/(ab)]^2]当a=1,b=1.
而当a=1,b=1,LHS 和RHS都是3/4..

但觉得这样不漂亮..到底那里出错了?
应该有更好的解法.

情~風

代入a=x/y, b=y/z, c=z/x
變成
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2
>=1/(1+ab)+1/(1+c)^2
=(c^2+c+1)/(1+c)^2
>=3/4



不知對否....大概大概....

[ Last edited by 情~風 on 1-6-2004 at 03:20 AM ]

pipi

情~風 于 31-5-2004 03:12 PM  说 :
代入a=x/y, b=y/z, c=z/x
變成
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2
>=1/(1+ab)+1/(1+c)^2
=(c^2+c+1)/(1+c)^2
>=3/4

[ Last edited by 情~風 on 1-6-2004 at 03:20 A ...

怎样证明
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2 >=1/(1+ab)  ??

情~風

pipi 于 1-6-2004 02:19 PM  说 :

怎样证明
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2 >=1/(1+ab)  ??

可假設a>=b>=c
若a>=b>=1
則(a-1)(b-1)>=0
1+ab>=a+b
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2
>=2/(1+a)(1+b)
=2/(1+a+b+ab)
>=1/(1+ab)

否則有1>=b>=c
則類似地有
1/(1+b)^2+1/(1+c)^2
>=1/(1+bc)

代入原式即可

pipi

情~風 于 1-6-2004 06:41 PM  说 :
可假設a>=b>=c
若a>=b>=1
則(a-1)(b-1)>=0
1+ab>=a+b
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2
>=2/(1+a)(1+b)
=2/(1+a+b+ab)
>=1/(1+ab)

否則有1>=b>=c
則類似地有
1/(1+b)^2+1/(1+c)^2
>=1/(1+bc)

代入原式即可

是不是不需要有 a>=b>=1或a<=b<=1便能证明
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2 >=1/(1+ab) ??

pipi

若 x, y, z > 0
求证：
(x/(y+z)) + (y/(x+z)) + (z/(x+y)) >= 3/2

pipi

Pipi 于 24-5-2004 12:52 PM  说 :
若 x, y, z > 0
求证：
(y/(y+x))^2 + (z/(z+y))^2 + (x/(x+z))^2 >= 3/4

突然发现一个（算是）好玩的东西：
设
P = (y/(y+x))^2 + (z/(z+y))^2 + (x/(x+z))^2
Q = (x/(y+x))^2 + (y/(z+y))^2 + (z/(x+z))^2

不难得到
3/2 <= P + Q < 3 -------------------------------- (1)

（注意：P 不等于 Q）
但是由 (1), 我们不能得到
P >= 3/4 ----------------------------------------- (2)
Q >= 3/4 ----------------------------------------- (3)

反之却可。。。（即由(2) 可得 (3), 然后由(2)及(3)可得 (1))

而且由 (1), 我们不能说
P < 3/2
Q < 3/2

事实上，
P < 2 ----------------------------------------- (4)
Q < 2 ----------------------------------------- (5)
反之却不够好。。。

好玩吗？？
你们看着办吧。。。

[ Last edited by pipi on 2-6-2004 at 02:25 PM ]

pipi 于 2-6-2004 10:31 AM  说 :
若 x, y, z > 0
求证：
(x/(y+z)) + (y/(x+z)) + (z/(x+y)) >= 3/2

  (x/(y+z)) + (y/(x+z)) + (z/(x+y))
= (x+y+z)/(y+z) - 1 + (x+y+z)/(x+z) - 1 + (x+y+z)/(x+y) -1
= (x+y+z) [1/(y+z) + 1/(x+z) + 1/(x+y)] - 3

设 (y+z)=a, (x+z)=b, (x+y)=c, 则 (x+y+z)=1/2 (a+b+c)
以上式子可写成 ：
   1/2 (a+b+c) (1/a+1/b+1/c) - 3
=  1/2 (1+a/b+a/c+b/a+1+b/c+c/a+c/b+1) - 3   [a/b+b/a>=2]
>= 1/2 (9) - 3
=  3/2