■ 不等式证明题 ■

mathlim

这是我刚刚设计的一道关于不等式的证明题，
有兴趣的不妨试一试。

若a > 0, b > 0, c > 0,

证明：a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) ≥ (a+b+c)/2

hamilan911

用cauchy inequality,

[a^2/(b+c) + b^2/(a+c) + c^2/(a+b)][(b+c) + (a+c) + (a+b)] >= (a+b+c)^2
所以 a^2/(b+c) + b^2/(a+c) + c^2/(a+b) >= (a+b+c)/2
证毕

DADDY_MUMMY

两行解决，看不懂
Cauchy inequality
[(a_1)^2 + (a_2)^2 + ... + (a_n)^2][(b_1)^2 + (b_2)^2 + ... + (b_n)^2]≥[(a_1)(b_1) + (a_2)(b_2) + ...(a_n)(b_n)]^2

[ 本帖最后由 DADDY_MUMMY 于 4-10-2008 01:41 AM 编辑 ]

hamilan911

你的RHS的式应该有个平方

Ivanlsy

[(a_1)^2 + (a_2)^2 + ... + (a_n)^2][(b_1)^2 + (b_2)^2 + ... + (b_n)^2]≥ [(a_1)(b_1) + (a_2)(b_2) + ...(a_n)(b_n)]^2

其中
a_1=a/√(b+c)
a_2=b/√(a+c)
a_3=c/√(a+b)

b_1=√(b+c)
b_2=√(a+c)
b_3=√(a+b)

(a_1)(b_1)=[a/√(b+c)][√(b+c)]=a
(a_2)(b_2)=[b/√(a+c)][√(a+c)]=b
(a_3)(b_3)=[c/√(a+b)][√(a+b)]=c

hamilan911

也对

应该有学过吧？
解得不错

Ivanlsy

mathlim的题目是不需要应用大定理的，对吗？
所以应该有不一样的证法。

DADDY_MUMMY

懂了

To：hamilan911
平了

DADDY_MUMMY

恩喏！大到我看不懂，有小小的吗？

Ivanlsy

原帖由 hamilan911 于 4-10-2008 01:40 AM 发表
也对

应该有学过吧？
解得不错

哪里哪里！
我没有解，我也没有学过Cauchy inequality，我只是向DADDY_MUMMY解释应用Cauchy Inequality的方法。
我只是根据你们给的公式，选择适当的表达式再代入其中吧了。

mathlim

我不会柯西不等式，我只会应用算術平均數(A.M.)大於等於幾何平均數(G.M.)。

哦！要学的还很多。

mathlim

因为不会应用大定理，所以证明就显得冗长。
不过我就是喜欢这样天马行空的动脑筋。

mathlim

最近有人给了我这一道题目：

已知 a + b + c = 0, abc = 1,

证明 a,b,c 中，至少有一个数大于 3/2。

hamilan911

c = -a-b, ab=1/c
c = -a-b >= 2sqrtab = 2sqrt[1/c]
c^2 >= 4/c
c^3 - 4 >= 0
get c >= 4^1/3 > 3/2

mathlim

就这么简单！
我竟然环游世界一周。
幸好没有去到荷兰。

mathlim

1．已知 x > 0, y > 0 且 2x + y = 1,
   求 1/x + 1/y 的最小值。

2．已知 a > 0, b > 0 , c > 0,
      试证明 2a^3 + 2b^3 + 2c^3 ≥ a^2b + b^2c + c^2a + b^2a + c^2b + a^2c。

3．已知 a > 0, b > 0 , c > 0,
      试证明 a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^2b + b^2c + c^2a。

hamilan911

1/x+1/y >=2/sqrt(xy) = 2/sqrt[x(1-2x)]
x(1-2x)的最大值是当x=1/4
所以 1/x+1/y的最小值是2/sqrt(1/8) = 4sqrt2

a^3 + a^3 + b^3 >= 3a^2b
a^3 + b^3 + b^3 >= 3ab^2
结合得a^3 + b^3 >= a^2b + ab^2
同理b^3 + c^3 >= b^2c + bc^2, a^3 + c^3 >= a^2c + ac^2
结合得证

a^3 + a^3 + b^3 >= 3a^2b
b^3 + b^3 + c^3 >= 3b^2c
c^3 + c^3 + a^3 >= 3c^2a
结合得证

mathlim

你的第二题的做法和我的一样。
第三道题，我又是环游了世界一周。
但是你第一道题的做法有错误哦！

hamilan911

呵呵,看错了

1/x+1/y = 2/sqrt(xy) 当1/x=1/y
1/x = 1/(1-2x)
x=1/3

1/x + 1/y = 2/sqrt(1/9) = 6

mathlim

还是错！
一些概念没有掌握。