■ 一题多解 ■

mathlim

数学其中一个有趣的是：
一题多解。

下面的这一道题，你会怎么解呢？



已知ABGH，BCFG与CDEF皆为正方形，求 a+b 的值。

redwind

不会,只知道每个角时90度.

hamilan911

用tan(a+b) = (tana+tanb)/(1-tanatanb)

mathlim

hamilan911说的是用三角学的方法。

a = arctan(1/2)
b = arctan(1/3)
0 < a, b < π/2
0 < a+b < π
tan(a+b)
= (tana + tanb)/(1-tana·tanb)
= (1/2 + 1/3)/(1 - 1/2·1/3)
= 1
∴ a+b = π/4

[ 本帖最后由 mathlim 于 31-10-2008 12:57 AM 编辑 ]

flash

原帖由 mathlim 于 31-10-2008 12:33 AM 发表
hamilan911说的是用三角学的方法。

a = arctan(1/2)
b = arctan(1/3)
0 < a, b < π/2
0 < a+b < π
tan(a+b)
= (tana + tanb)/(1-tana·tanb)
= (1/2 + 1/3)/(1 - 1/2·1/3)
= 1
∴ a+b = π/2

是 45 度，应该是 π/4 吧。。。。。。。

我是用图形来解，而不是用 trigo。

mathlim

谢谢！已编辑。

mathlim

flash说的是用几何学的方法。



可以证得图中的三角形是等腰直角三角形。
∴ a+b = π/4

tensaix2j

“几何” 英文 称什么？

mathlim

几何学
维基百科，自由的百科全书

几何学（geometry）是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。几何是近代数学的两大领域之一，另外一个是研究数量关系的领域。现代概念上的几何其抽象程度和一般化程度大幅提高，并与分析、抽象代数和拓扑学紧密结合，很多分支几乎无法认出是从早期的几何学传承而来。

mathlim

这一道题不只有多种解法，
而且是截然不同的。
我还有一个代数学的解法。

tensaix2j

代数是 algebra 吗？ 好奇你们学数学都用中文的吗？

mathlim

代数 (algebra)
维基百科，自由的百科全书

代数是研究数、数量、關係与结构的数学分支。基本代数一般在中學時讲授，介紹代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解變數的概念和如何建立多项式并找出它们的根。

代数可以说是对初等代数的推广，前者较之后者要广泛得多。代数的研究对象不是数字，而是可以有丰富内涵的符号、變數和集合元素。加法与乘法被看成是一般的運算，对它们加以准确定义，方可引出结構，如：群、环、域。

代数、幾何、分析和數論是数学的主要分支。

我的学校是华文独立中学，
除了语文科，
其他科目坚持用母语教学。

Ivanlsy

独中是用中文学习数学的。

Ivanlsy

以我的经验，以英文为学习数学的媒介语，同学们之间都还是用华文来讨论题目。
重点是，大家都乱翻译，我每次听到都觉得怪怪的。
总结，用母语当媒介语，真的比较容易吸收。

mathlim

但是也有一些华文独中用英文课本。
有的用A-level的课本。

mathlim

设a为复数2+i的辐角的主值，b为复数3+i的辐角的主值。
0 < a, b < π/2
0 < a+b < π
(2+i)(3+i) = 5+5i
5+5i的辐角的主值为π/4。
根据两个复数相乘，
积的辐角等于各复数的辐角的和。
∴ a+b = π/4。

distantstar

复数的解法很漂亮！谢谢分享。

mathlim

我比较喜欢几何的证明。
但是代数的证明最令我震撼！
虚数这样一个'虚'的东西，
竟可以赋予它生命，
定义它及其游戏规则，
然后在几何的证明，
发挥它的应用价值。
这，就是数学的奥妙。

朗木寺

解析几何的方法：

不妨设它们为单位正方形，将正方形置于坐标系内，得到点（0，0），（1，0），（2，0）
（3，0）（0，1），（1，1），（2，1），（3，1），分别求（0，0）和（3，1）以及（1，0）和（3，1）的斜率得到 tanA=1/3，tanB=1/2，再求

tan（A+B）=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)代入可得值为1，从而得证。

mathlim

这个做法基本上还是应用三角学。
但是还是谢谢你！