数学Paper 1讨论专区

乖乖小孩

可能粗心做错了！

[ 本帖最后由 乖乖小孩 于 7-3-2009 03:12 AM 编辑 ]

Ivanlsy

原帖由 白羊座aries 于 6-3-2009 11:47 PM 发表
虽然有点容易,但是我算不出答案

express the following in partial fractions

(x^2+x+1)/(x^2+1)(x^2-1)

(x^2 + x + 1)/[(x^2 + 1)(x^2 - 1)] = (x^2 + x + 1)/[(x^2 + 1)(x - 1)(x + 1)]
                                                     = A/(x - 1) + B/(x + 1) + (Cx + D)/(x^2 + 1)
                                  x^2 + x + 1 = A(x + 1)(x^2 + 1) + B(x - 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x - 1)(x + 1)


let x = 1,
1 + 1 + 1 = A(2)(2)
3 = 4A
A = 3/4

let x = -1,
1 - 1 + 1 = B(-2)(2)
1 = -4B
B = -1/4

Compare the coefficient of x^3,
A + B + C = 0
3/4 - 1/4 + C = 0
C = -1/2

Compare the constant term,
A - B - D = 1
3/4 + 1/4 - D = 1
D = 1 - 1
    = 0

Hence,
(x^2 + x + 1)/[(x^2 + 1)(x^2 - 1)] = 3/[4(x - 1)] - 1/[4(x + 1)] - x/[2(x^2 + 1)]

[ 本帖最后由 Ivanlsy 于 7-3-2009 10:08 AM 编辑 ]

白羊座aries

原帖由 Ivanlsy 于 7-3-2009 02:54 AM 发表


(x^2 + x + 1)/[(x^2 + 1)(x^2 - 1)] = (x^2 + x + 1)/[(x^2 + 1)(x - 1)(x + 1)]
                                                     = A/(x - 1) + B/(x + 1) + (Cx + D)/(x^2 + 1)
                    ...

constant 应该是
A-B-D=1
才对

Ivanlsy

哈哈~也對也對~
原諒我~~
那結果對嗎？

白羊座aries

原帖由 Ivanlsy 于 7-3-2009 10:06 AM 发表
哈哈~也對也對~
原諒我~~
那結果對嗎？

那么就是说书的答案错了.谢谢你

Ivanlsy

書的答案是什麽？

白羊座aries

原帖由 Ivanlsy 于 7-3-2009 10:09 AM 发表
書的答案是什麽？

3/[4(x-1)] - 1/4(x+1) - 1/2(x^2+4)

Ivanlsy

這個錯誤厲害下~

Ivanlsy

原帖由 白羊座aries 于 7-3-2009 10:13 AM 发表


3/[4(x-1)] - 1/4(x+1) - 1/2(x^2+4)

這個應為x。

白羊座aries

原帖由 Ivanlsy 于 7-3-2009 10:18 AM 发表
這個錯誤厲害下~

不聊了,自从看到昨天报纸登SPM成绩是12号,我就想起我的SJ,直接没有mood因为是TH
所以,现在我要去CC relax下散下心

白羊座aries

show that a^2 + b^2 >= 2ab

if x+y+z=c ,show that x^2 +y^2 + z^2 >= 1/3 c^2

暂时是这样

hamilan911

(a-b)^2 >= 0
a^2 + b^2 >= 2ab

同理得
x^2 + y^2 >= 2xy
y^2 + z^2 >= 2yz
x^2 + z^2 >= 2xz
结合得2(x^2 + y^2 + z^2) >= 2(xy + yz + xz)
两边加x^2 + y^2 + z^2
得3(x^2+y^2+z^2) >= (x+y+z)^2
所以x^2 + y^2 + z^2 >= 1/3 c^2

白羊座aries

原帖由 hamilan911 于 9-3-2009 12:58 PM 发表
(a-b)^2 >= 0
a^2 + b^2 >= 2ab

同理得
x^2 + y^2 >= 2xy
y^2 + z^2 >= 2yz
x^2 + z^2 >= 2xz
结合得2(x^2 + y^2 + z^2) >= 2(xy + yz + xz)
两边加x^2 + y^2 + z^2
得3(x^2+y^2+z^2) >= (x+y+z)^2
所以 ...

不明白,而且我也不知道题目要的c是什么..

Ivanlsy

遲到~
不過有人來幫忙也是好事~
大家一起來幫忙~~
多人好辦事~
也可以討論一下有沒有比較簡潔的解法~
我時常覺得我的解法很冗長，可是有想不到有沒有捷徑~

Ivanlsy

x^2 + y^2 >= 2xy
y^2 + z^2 >= 2yz
x^2 + z^2 >= 2xz
结合得2(x^2 + y^2 + z^2) >= 2(xy + yz + xz)
两边加x^2 + y^2 + z^2
3(x^2 + y^2 + z^2) >= 2(xy + yz + xz) + x^2 + y^2 + z^2

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz
                     = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz)

得3(x^2+y^2+z^2) >= (x+y+z)^2
所以x^2 + y^2 + z^2 >= 1/3 c^2

白羊座aries

= x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz)

得3(x^2+y^2+z^2) >= (x+y+z)^2

我不明白...但是我明白什么是c了

Ivanlsy

因爲两边加x^2 + y^2 + z^2，

2(x^2 + y^2 + z^2) + (x^2 + y^2 + z^2) >= 2(xy + yz + xz) + (x^2 + y^2 + z^2)

又因爲
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz
                     = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz)
所以
2(x^2 + y^2 + z^2) + (x^2 + y^2 + z^2) >= 2(xy + yz + xz) + (x^2 + y^2 + z^2)
3(x^2 + y^2 + z^2) >= (x + y + z)^2

白羊座aries

原帖由 Ivanlsy 于 9-3-2009 01:47 PM 发表
因爲两边加x^2 + y^2 + z^2，

2(x^2 + y^2 + z^2) + (x^2 + y^2 + z^2) >= 2(xy + yz + xz) + (x^2 + y^2 + z^2)

又因爲
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz
                     = x^2 +  ...

完全明白.谢谢..

hamilan911

如果懂得cauchy inequality,
可以直接
（１＋１＋１）（x^2+y^2+z^2) >= (x+y+z)^2

Ivanlsy

哈哈~這招是在數學邏輯學到的~
如果是比賽的題目還可以用這個，可這是學校的題目~