数学Paper 1讨论专区

笨蛋一个

原帖由 Ivanlsy 于 11-3-2009 07:45 PM 发表

這裡有個足以引人深思的地方，不知道大家有沒有注意到？

我不知道你在想什么
不过当年我读到这一课时，我在想那个t是不是3rd dimension来的
如果说x-y是2nd dimension啦

不过我老师说我错


如果针对这题
equation of normal好像有错

[ 本帖最后由 笨蛋一个 于 12-3-2009 12:58 AM 编辑 ]

Ivanlsy

原帖由 笨蛋一个 于 12-3-2009 12:26 AM 发表


我不知道你在想什么
不过当年我读到这一课时，我在想那个t是不是3rd dimension来的
如果说x-y是2nd dimension啦

不过我老师说我错


如果针对这题
equation of normal好像有错

equation of normal沒有錯誤~

The parametric equations of curve are x = 1 - 2t, y = -2 + (2/t) ,
find the equation of the normal to curve at the point A ( 3, -4).
The normal to the curve at A cuts the curve again at the point B. Find coordinates of B.

Equation of normal:
y + 4 = (-t^2)(x - 3)

Substitute x = 1 - 2t and y = -2 + (2/t) into the equation of normal,
-2 + 2/t + 4 = (-t^2)(1 - 2t - 3)
-2t + 2 + 4t = (-t^3)(-2t - 2)
2t + 2 = (t^3)(2t + 2)
t^3 = 1
t = 1

When t = 1,
x = 1 - 2(1)
   = 1 - 2
   = -1

y = -2 + (2/1)
   = -2 + 2
   = 0

Coordinates of B is (-1, 0).

根據題意，我們知道Normal會交曲綫于兩點。
但是爲什麽當我們代入x = 1 - 2t 及 y = -2 + (2/t)去到equation of normal的時候，最後卻只得到唯一一個t的值？
照理來説，應該會有兩個不同的t值，因爲Normal交曲綫于兩點。
爲什麽呢？

[ 本帖最后由 Ivanlsy 于 12-3-2009 01:09 AM 编辑 ]

笨蛋一个

原帖由 Ivanlsy 于 12-3-2009 01:08 AM 发表

equation of normal沒有錯誤~



根據題意，我們知道Normal會交曲綫于兩點。
但是爲什麽當我們代入x = 1 - 2t 及 y = -2 + (2/t)去到equation of normal的時候，最後卻只得到唯一一個t的值？
照理來説，應該 ...

因为2t + 2 = (t^3)(2t + 2)
(t^3-1)(2t+2)=0
t=1/-1

笨蛋一个

对不起，没看到normal
我还以为是tangent

Ivanlsy

很好！不愧是數學高手~
這種現象為失根~
雖然失根在這一題沒有造成困擾，但以後需要多多注意哦~別輕易地刪掉一些term~

无光的星星

数学高手来救救我！几题看似容易我却不会做。。。

3题都是differentiation的。。
Deffirentiate the following with respect to x.
1)8^3x
2)cos^2  (1-x)
3)y=ln [ sin^3  (2x)]

答案：
1)（3 ln 8)8^3x
2) sin 2(1-x)
3) -----------

我用这个formula做不到： dy/dx=(du/dy) * (dy/du)
其他的题目用这个都做到。。。就是这3题做不到。。希望大家可以教教我。。

hamilan911

1.y = 8^3x
ln y = 3x ln 8
用implicit differentiation
1/y dy/dx = 3ln8
得dy/dx = (3ln8)y = (3ln8)(8^3x)

2. y=cos^2 (1-x)
dy/dx = 2cos(1-x) * -sin(1-x) * (-1) = 2cos(1-x)sin(1-x) = sin2(1-x)

3. y=ln [sin^3 (2x)]
dy/dx = 1/(sin^3 (2x)) * 3sin^2 (2x) * cos(2x) * 2 = 6cos(2x)/sin(2x) = 6cot(2x)

无光的星星

谢谢你的回答！

我明白了第一题。。可是第二和第三题到底是怎么变来的？是跟formula的吗？

2. y=cos^2 (1-x)
dy/dx
= 2cos(1-x) * -sin(1-x) * (-1) [我不明白这里]
= 2cos(1-x)sin(1-x)
= sin2(1-x)

3. y=ln [sin^3 (2x)]
dy/dx
= 1/(sin^3 (2x)) * 3sin^2 (2x) * cos(2x) * 2 [也是这里不懂]
= 6cos(2x)/sin(2x)
= 6cot(2x)

DADDY_MUMMY

原帖由 无光的星星 于 14-3-2009 06:17 PM 发表 谢谢你的回答！ 我明白了第一题。。可是第二和第三题到底是怎么变来的？是跟formula的吗？2. y=cos^2 (1-x)dy/dx = 2cos(1-x) * -sin(1-x) * (-1) [我不明白这里]= 2cos(1-x ...

2）
就好像这样：
d/dx [f(x)]^n = n*{[f(x)]^(n-1)}*f '(x)
d/dx [f(ax)]^n = n*{[f(ax)]^(n-1)}*f '(ax)*a

3)和第二题同样的道理。。。

[ 本帖最后由 DADDY_MUMMY 于 14-3-2009 08:43 PM 编辑 ]

笨蛋一个

原帖由 DADDY_MUMMY 于 14-3-2009 06:50 PM 发表


2）
就好像这样：
d/dx [f(x)]^n = n*{[f(x)]^(n-1)}*f '(x)
d/dx [f(ax)]^n = n*{[f(ax)]^(n-1)}*f '(ax)*a

3)我也是不懂：
d/dx ln[f(x)]不是等于f'(x)/f(x)???
Suppose that
=3sin^2 (2x) * cos(2x) ...

里面的2x不能割的

DADDY_MUMMY

原帖由 笨蛋一个 于 14-3-2009 06:58 PM 发表


里面的2x不能割的

z0m0k不能？？？
sin^2(2x) / sin^3(2x)
=[sin(2x)]^2 / [sin(2x)]^3???

[ 本帖最后由 DADDY_MUMMY 于 14-3-2009 08:03 PM 编辑 ]

Yutaka

借用这里一下。。
derivatives of logarithmic functions

given that     ln y = square root ( 1 + X ), show that 4(1+X) y" + 2y' = y

我做了蛮久。。做不到。。请各位高手指教。。

[ 本帖最后由 Yutaka 于 14-3-2009 08:31 PM 编辑 ]

无光的星星

我还是不明白。。。。

DADDY_MUMMY

原帖由 Yutaka 于 14-3-2009 08:21 PM 发表
借用这里一下。。
derivatives of logarithmic functions

given that     ln y = square root ( 1 + X ), show that 4(1+X) y" + 2y' = y

我做了蛮久。。做不到。。请各位高手指教。。

y = e^[sqrt(1+x)]
y' = e^[sqrt(1+x)] / [2*sqrt(1+x)]
y'' = e^sqrt(1+x)*[1-1/sqrt(1+x)] / 4(1 + x)
然后，try找找看

原帖由 无光的星星 于 14-3-2009 08:25 PM 发表
我还是不明白。。。。

哪里不懂？？？

hihi23

ln y=sqrt(1+x）
(1/y) y'=1/(2*sqrt(1+x))
(1/y) y'=1/(2*ln y)
y'=y/(2*ln y)
y''=(2ln y -2)/(4(ln y)^2)  * y'
4(1+x)y''=(2lny-2)y'
4(1+x)y'' + 2y'=2lny *  y'
4(1+x)y'' + 2y'=2lny *y/2lny
4(1+x)y'' + 2y'=y     (QED)

DADDY_MUMMY

原帖由 hihi23 于 14-3-2009 08:43 PM 发表
ln y=sqrt(1+x）
(1/y) y'=1/(2*sqrt(1+x))
(1/y) y'=1/(2*ln y)
y'=y/(2*ln y)
y''=(2ln y -2)/(4(ln y)^2)  * y'
4(1+x)y''=(2lny-2)y'
4(1+x)y'' + 2y'=2lny *  y'
4(1+x)y'' + 2y'=2lny *y/2lny
4(1+x)y ...

厉害，这样变出来都可以。。。

Yutaka

好像更复杂了。。

我有做到 4(1+X) y" 在前面。。
但是show 不到。。

hihi23

[quote]原帖由 DADDY_MUMMY 于 14-3-2009 08:38 PM 发表


y = e^[sqrt(1+x)]
y' = e^[sqrt(1+x)] / [2*sqrt(1+x)]
y'' = e^sqrt(1+x)*[1-1/sqrt(1+x)] / 4(1 + x)
然后，try找找看 [quote]

你 post 快过我 tim.

Yutaka

完全明白。。 也知道自己错在哪里了。。
因为在一开始算时把lny写成 y...

谢谢你。。

笨蛋一个

原帖由 无光的星星 于 14-3-2009 08:25 PM 发表
我还是不明白。。。。

errr，y=f(g(x))
dy/dx=f'(g(x))*g'(x)
这句的意思是先diff外面的东西，然后再乘以里面已经diff过的东西，如果里面diff不完，就再diff然后再乘被diff过的东西，diff到constant为止。
f(x)和g(x)是比较简单，能diff的东西
像x，x^2，cos(x)，ln(x)等
先用一个比较简单的例子
比如说你要differentiate y=sin (2x)
这里
f(x)=sin (x)
g(x)=2x
f(g(x))=sin(2x)

f'(x)=cos (x)
f"(g(x))=cos (2x)
g'(x)=2

所以 f'(g(x)) * g'(x)=cos(2x) * 2

所以dy/dx=2cos(2x)

先弄通这个比较浅白的


现在进入比较深的
y=f(g(h(x)))
dy/dx=f'(g(h(x))*g'(h(x))*h'(x)

2) y=cos^2 (1-x)
注意它是由三个简单的function组成
y=f(g(h(x)))
f(x)=x^2
g(x)=cos(x)
h(x)=1-x

f'(x)=2x
f‘(g(h(x))=2 cos(1-x)

g'(x)=-sin(x)
g'(h(x))=-sin(1-x)

h'(x)=-1

f'(g(h(x)) * g'(h(x)) * h'(x)=2 cos(1-x) * -sin(1-x) * -1
                                        =2cos(1-x)sin(1-x)

所以y=cos^2 (1-x)
dy/dx== 2cos(1-x) * -sin(1-x) * (-1)
= 2cos(1-x)sin(1-x)
= sin(2(1-x))   (2sin x cos x=sin 2x)

然后自己看第三题看自己明白多少没有


写了那么长希望你能明白