数学训练（十一月份）

多普勒效应

还是老样子：
小弟会继续pipi老师的每日一题，每天都会贴一个数学题目（一般的比赛题目）。程度方面就由初中至高中，乃至大专都会有。

（          星期一至星期三：初中 (A)
              星期四至星期六：高中 (B)              
              星期日       ：大专 或 国际性比赛难题   (C)      ）

希望大家继续支持 ^^ ,
给予建议与批评,
多多支持数学训练 ,
谢谢 , 谢谢！

十月未解题目
03/10/2004，星期日
大专(C7)
（待解）
    （答案：）
          （解对者：）

24/10/2004，星期日
大专(C10) 若 0 < x ,y < 1 。
          求证 1 < x^y  + y^x < 2 。 （待解）
          （答案：）
          （解对者：）

31/10/2004，星期日
大专(C11)
  （已解）

    （答案：-）
          （解对者：sinchee）

十一月题目


01/11/2004，星期一
初中(A34)
（已解）
（答案：(x＋y－2)(x－y＋3)，
(a－b)(b－c)(c－a) ）
（解对者：430201）

02/11/2004，星期二
初中(A35)
（已解）
（答案：(2a+b)/(a+2b)）
（解对者：chiaweiwoo1）

03/11/2004，星期三
初中(A36)
（已解）
（答案：）
（解对者：430201，史奴比{^_^}）

04/11/2004，星期四
高中(B34)
证明
是有理数。        （已解）
（答案：--）
（解对者：萧晨 , 430201）

05/11/2004，星期五
高中(B35)
解方程

（已解）
（答案：1/2 (– 1 + √21) 或 1/2 (1 - √17)）
（解对者：萧晨，sinchee）

06/11/2004，星期六
高中(B36)
x,y,z 都是正实数，且
        x + [y] + {z} = 13.2
        [x]+{y}+  z  = 14.3
        {x}+y+[z] = 15.1
[a] 表示不超过 a 的最大整数，{a}表示小数部分
例如：[5.4]=5 , {4.3}=0.3
求 x,y,z 之值。
（已解）
（答案：x=6.0,y=7.1,z=8.2）
（解对者：萧晨，430201）

07/11/2004，星期日
大专 （C12）
一间工厂生产两种口味的糖果：草莓和香草。我们无法从糖果的表面判断糖果的口味。有关的糖果将会包装成包裹。每种包裹里的组合都可能不一样（可能整包都是草莓口味的糖果或是整包都是香草口味的糖果，或是一颗草莓其余香草等等）。假设每包糖果的数量都一样以及每种组合的机率都一样。
小明买了一包有关的糖果，尝了一颗发觉是草莓口味。如果现在小明取第二颗糖果（第一颗没放回去），请问第二颗糖果是草莓口味的机率是多少？
（已解）（答案：2/3）
（解对者：sinchee，萧晨）              
（感谢 flash 提供）

08/11/2004,星期一
初中 (A37)

ABCD 是正方形，CED是直角三角形。
M是ABCD的中点，D=60度，求角MND之值。
（已解）
（答案：105度）
（解对者：430201）

09/11/2004,星期二
初中 (A38)

（已解）
（答案：2）
（解对者：萧晨，430201）

10/11/2004,星期三
初中 (A39)
ABCD是凸四边形，且AB=BC=AC=AD,
求角BDC之值。
（已解）
（答案：30度）
（解对者：fritlizt，430201，萧晨）

11/11/2004,星期四
高中 (B37)
f 和 g 是两个多项式（polynomial），且
f(x + g(y))=3x + y + 4
给所有实数x,y
求 g( 8 + f (3)) 之值。
（已解）
（答案：7）
（解对者：sinchee）

12/11/2004,星期五
高中 (B38)
a,b 是 x^2 - (k-1)x + (k^2 + 3k +4)=0
的两根，k 是某些实数。
求 a^2 + b^2 的最大值。 （已解）
（答案：8）
（解对者：灰羊，430201）

13/11/2004,星期六
高中 (B39)

（已解）
（答案：）
（解对者：）
高中 (B39-2) 特别


14/11/2004，星期日
大专 （C13）
证明 　２≤ (1 + 1/n)^n ＜３
如果 n 是任何 自然数。
（已解）
（答案：-）
（解对者：）
（感谢 flash 提供）

15/11/2004,星期一
初中 (A40)
证明

（已解）
（答案：-）
（解对者：eeCyang，sinchee）

16/11/2004,星期二
初中 (A41)

（已解）
（答案：a+b+c）
（解对者：430201）

17/11/2004,星期三
初中 (A42)
证明 (1+2+3...+9)|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5)
（已解）
（答案：--）
（解对者：chiaweiwoo1）

18/11/2004,星期四
高中 (B40)
设 0<a,b<90度 , 且 sin a-sin b = -1/3
     cos a - cos b= (2√2) /3
证明 b - a =60度
（已解）
（答案：）
（解对者：sinchee）

19/11/2004,星期五
高中 (B41)
N 是一个正整数，求最小的 N使 N^2 的末尾四数为 6004
（已解）
（答案：998）
（解对者：sinchee,430201）

20/11/2004,星期六
高中 (B42)
(abc)是一个三位数，问共有几个这样的三位数使 a≤b≤c.
（已解）
（答案：165）
（解对者：430201）

21/11/2004，星期日
大专 （C14）
这题须要有一些赌博的知识，希望不会教坏小孩。
五个赌徒分别坐在五个赌桌玩 poker （也叫 ＂派＂（pair））。如果五个人手上的牌分别是：

（A） A（黑桃）A（红心）A（方块）K（黑桃）K（红心）
（B） A（黑桃）A（红心）A（方块）Q（黑桃）Q（梅花）
（C） A（黑桃）A（红心）A（方块）Q（黑桃）Q（红心）
（D） A（黑桃）A（红心）A（方块）6（黑桃）６（梅花）
（E）A（黑桃）A（红心）A（方块）3（黑桃）3（梅花）

那谁赢的机会最大？（假设是用 52 张牌，没有 joker）
（已解）
（答案：）
（解对者：）
（感谢 flash 提供）

22/11/2004,星期一
初中 (A43)

（已解）
（答案：）
（解对者：）

23/11/2004,星期二
初中 (A44)

（已解）
（答案：）
（解对者：）

24/11/2004,星期三
初中 (A45)
若 n^2 + 7可以被8整除，求 n 的形式
（已解）
（答案：2k+1或4k+-1或奇数）
（解对者：灰羊，430201）

25/11/2004,星期四
高中 (B43)
解联立方程：
X_i 是实数   
X_1 + X_2 + ... + X_1999 = 1999
(X_1)^4 + (X_2)^4 + ... + (X_1999)^4 = (X_1)^3 + (X_2)^3 + ... + (X_1999)^3
（已解）
（答案：X_i=1 for all i = 1,2,3,...,1999）
（解对者：Livar）

26/11/2004,星期五
高中 (B44)
a_i 是正整数   i=1,2,3,...,n
已知 a_1 + a_2 + ... + a_n = 2002
求 (a_1)(a_2)...(a_n)的最大值。
（待解）
（答案：）
（解对者：）

27/11/2004,星期六
高中 (B45)
i,j是正整数，
当 i,j 属于 S ，则 (i+j)/gcd(i,j) 属于 S
找出所有有限非空集 S
[ gcd(a,b) 表示 a,b 的最大公因数 ]
（待解）
（答案：）
（解对者：）

28/11/2004，星期日
大专 （C15）
请算出
(cos x)^2 + (cos 2x)^2 + ... (cos nx)^2（已解）
（答案：）
（解对者：）
（感谢 flash 提供）

29/11/2004,星期一
初中 (A46)
x+y+z=2000 共有几个正整数解？
（已解）
（答案：）
（解对者：灰羊，430201）

30/11/2004,星期二
初中 (A47)
a , b 是有理数。
证明 (a+ √2)/(b+ √2)是无理数。
（已解）
（答案：）
（解对者：灰羊）

[ Last edited by 多普勒效应 on 6-12-2004 at 12:01 AM ]

初中(A34)

1、原式＝(x＋y)(x－y)＋(x＋5y)－6
       ＝(x＋y－2)(x－y＋3)

2、原式＝(ab^2－ac^2)－(cb^2－bc^2)－(ba^2－ca^2)
       ＝a(b＋c)(b－c)－bc(b－c)－a^2(b－c)
       ＝(b－c)(ab＋ca－bc－a^2)
       ＝(b－c)﹝c(a－b)－a(a－b)﹞
       ＝(a－b)(b－c)(c－a)

初中(A34)

1、原式＝(x＋y)(x－y)＋(x＋5y)－6
       ＝(x＋y－2)(x－y＋3)

2、原式＝(ab^2－ac^2)－(cb^2－bc^2)－(ba^2－ca^2)
       ＝a(b＋c)(b－c)－bc(b－c)－a^2(b－c)
       ＝(b－c)(ab＋ca－bc－a^2)
       ＝(b－c)﹝c(a－b)－a(a－b)﹞
       ＝(a－b)(b－c)(c－a)

chiaweiwoo1

初中(A35)

  ((a + b)^3 + a^3 )/(a + b)^3 + b^3)
= ((2a + b)((a + b)^2 - (a + b)(a) + a^2)/((a + 2b)((a + b)^2 - (a + b)(b) + b^2)
= (2a + b)(a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - ab + a^2)/
  (a + 2b)(a^2 + 2ab + b^2 - b^2 - ab + b^2)
= (2a + b)(a^2 + ab + b^2)/
  (a + 2b)(a^2 + ab + b^2)
= (2a + b)/(a + 2b)

[ Last edited by chiaweiwoo1 on 1-11-2004 at 02:14 PM ]

史奴比{^_^}

03/11/2004，星期三
初中(A36)

( x + 1/x )^2 = x^2 + 1/x^2 + 2

已知 ：x^2 + 1/x^2  = 23

所以 ( x + 1/x )^2 = 23 + 2
                   = 25
     ( x + 1/x )   = 5 @ -5

但是 x < 0 ,  ( x + 1/x ) 不可能等于 5
所以，( x + 1/x )   = -5

( x + 1/x )^3 = x^3 + 1/x^3 + 3( x + 1/x)

x^3 + 1/x^3 = ( x + 1/x )^3  - 3( x + 1/x)
            = (-5)^3 - 3(-5)
            = -125 + 15
            = -110

∵x^2＋(1/x)^2＝23
∴(x＋1/x)^2＝x^2＋2＋(1/x)^2＝25
但x＜0，則x＋1/x＝－5
故x^3＋(1/x)^3＝(x＋1/x)〔x^2－1＋(1/x)^2〕＝(－5)×(23－1)＝－110

灰羊

不好玩...才一出來就被解答了T_T

多普勒效应

ok ^^
小弟去找点难的！！

大专的题目太难了。。。
可以有点提示吗？
多普勒效应

[ Last edited by 萧晨 on 4-11-2004 at 07:40 AM ]

史奴比{^_^}

   坛主， 星期三的题目，我的答案不对吗？？

多普勒效应

史奴比{^_^} 于 4-11-2004 07:37 AM  说 :
   坛主， 星期三的题目，我的答案不对吗？？

对不住，我太糊涂，写少了上去。
谢谢提醒^^"

高中(B34)
要上课了。。。
来不及做，等下回来再想
是不是分母抽5--->2222...244444...45
(n-1个2，n-1个4，一个5)
再抽5--->444....4888...89
(n-1个4，n-2个8，一个9)
--->444...48888...8+1
(n-1个4，n-1个8)
在用数学归纳法证明这个式子是平方数
所以整个分母就是平方数
可以开更号然后倒数

对不对呀？
写得不够详细对不起

444..4888...8+1

结果会(6666...6+1)^2
(n-1个6)

上学了。。拜拜

[ Last edited by 萧晨 on 4-11-2004 at 01:44 PM ]

設1111…1（共n－1個1）＝A
則1111…1222…25
＝A×10^(n＋1)＋2×A×10^2＋25
＝A×10^2×〔10^(n－1)＋2〕＋25
＝A×10^2×(9A＋3)＋25
＝9×A^2×10^2＋A×10^2×3＋25
＝(3A×10)^2＋2×(3A×10)×5＋5^2
＝(30A＋5)^2
＝(333…35)^2（共n－1個3）
故本題得証

430201 于 4-11-2004 12:53 PM  说 :
設1111…1（共n－1個1）＝A
則1111…1222…25
＝A×10^(n＋1)＋2×A×10^2＋25
＝A×10^2×〔10^(n－1)＋2〕＋25
＝A×10^2×(9A＋3)＋25
＝9×A^2×10^2＋A×10^2×3＋25
＝(3A×10)^2＋2×(3A×10)×5＋5 ...

你们真得很厉害。。。
很多代数式
没有正式学过高级数学。。。
看到就觉得很佩服了。。。

多普勒效应

萧晨 于 4-11-2004 08:33 AM  说 :
444..4888...8+1

结果会(6666...6+1)^2
(n-1个6)

上学了。。拜拜

[ Last edited by 萧晨 on 4-11-2004 at 01:44 PM ]

可以写出归纳的过程吗？

我的方式和430201得很像
只是我的超级复杂。。。
let 4444...48888...88+1=(k+1)^2
then 444....444888....888=k^2+2k
let 444...444=M
(有n-1项)
so,444...444888...888=(4M)(10^(n-1))+8M
10^(n-1)=9M+1
so...................=4M(9M+1)+8M
total 36MM+12M=kk+2k
k=6M=666666..6666
(n-1项)

所以444..4888...8+1
结果会(6666...6+1)^2



很惭愧。。。。居然用这么浪费时间的办法。。。

[ Last edited by 萧晨 on 4-11-2004 at 02:07 PM ]

高中(B35)
请问可以用linear interpolation 来做吗？
这是一个有点像trial and error的做法
answer=1.791284544,-1.561548897

如果可以我才把作法方上来。。
（这个也是很麻烦的做法。。。）

还有，不建议用画图法吗？？

多普勒效应

萧晨 于 4-11-2004 02:22 PM  说 :
高中(B35)
请问可以用linear interpolation 来做吗？
这是一个有点像trial and error的做法

如果可以我才把作法方上来。。
（这个也是很麻烦的做法。。。）

还有，不建 ...

可以可以，answer=1.791284544,-1.561548897 是对的。
不过，这题有一个很美一下的解法。
解出的是有根号的。

多普勒效应 于 4-11-2004 04:07 PM  说 :


可以可以，answer=1.791284544,-1.561548897 是对的。
不过，这题有一个很美一下的解法。
解出的是有根号的。

哇。。
好想知道解法哟
不过既然有另外一个很美的解法
那么我的linear interpolation也就不用写出来了是吗？