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楼主: 多普勒效应

数学训练(十一月份)

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 楼主| 发表于 19-11-2004 12:06 AM | 显示全部楼层
430201 于 18-11-2004 10:50 PM  说 :
設N的末二位數為B,其餘為A
則N=100A+B
   N^2=10000A^2+2×100A×B+B^2-----(1)
即B^2的末二位數為04
設B=(ab),顯然b=2或8
一)若b=2
  B^2=100a^2+40a+4
  得a=0或5
  1)a=0→B= ...


解法不对
再接再厉
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sinchee 该用户已被删除
发表于 19-11-2004 12:59 AM | 显示全部楼层
多普勒效应
11/11/2004,星期四
高中 (B37)
f 和 g 是两个多项式(polynomial),且
f(x + g(y))=3x + y + 4
给所有实数x,y
求 g( 8 + f (3)) 之值。

答案是7吧??

设 f(x) = 3x + k
则 g(y) = (y+4-k)/3
故 g( 8 + f (3)) =7
    
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sinchee 该用户已被删除
发表于 19-11-2004 01:21 AM | 显示全部楼层
不好意思,在下对于这题有少许意见,
多普勒效应12/11/2004,星期五
高中 (B38)
a,b 是 x^2 - (k-1)x + (k^2 + 3k +4)=0
的两根,k 是某些实数。
求 a^2 + b^2 的最大值。 (已解)
(答案:8)
(解对者:灰羊,430201)

fritlizt 于 12-11-2004 12:37 PM  说 :
a^2 + b^2 的最小值也不一定是当 a=b, a ,b 也可以是虚数。
问题没规定是实数。
不懂我对吗???


如果题目没特别注明的话,
a,b 应该可以是虚根才对。

灰羊 于 12-11-2004 09:21 AM  说 :
x^2 - (k-1)x + (k^2 + 3k +4)=0
∵k是實數
∴判別式=(k - 1)^2 - 4(k^2 + 3k + 4)≧0

k是實數,并不代表判別式≧0。

∵ a^2 + b^2 = -(k+4)^2 + 9
且 (k+4)^2 ≧ 0
故 a^2 + b^2 ≦ 9 才对。

还有,
灰羊 于 12-11-2004 08:39 PM  说 :
81/9≦(a^2 + b^2)≦8 <===應該是130/9≦(a^2 + b^2)≦8吧

如果 130/9 ≦ (a^2 + b^2) ≦ 8 的话,
那 (a^2 + b^2) 就不存在着最大和最小值了!!
        
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sinchee 该用户已被删除
发表于 19-11-2004 01:55 AM | 显示全部楼层
eeCyang 于 16-11-2004 11:21 AM  说 :
15/11/2004,星期一
初中 (A37)
证明


(sinx)^10+(cosx)^10=[(sinx)^5+(cosx)^5]^2-2(sinx)^5(cosx)^5
                   =[(sinx)^5+(cosx)^5]^2-1/16(sin2x)^5

已知[(sinx)^5+(cosx)^5]^2>=0,当x为任何常数..


应该对了!!

当x为任何常数,
[(sinx)^5+(cosx)^5]^2 ≧ 0
且  -1/16 ≦ -1/16(sin2x)^5 ≦ 1/16
故 [(sinx)^5+(cosx)^5]^2-1/16(sin2x)^5 ≧ 1/16
既 (sinx)^10+(cosx)^10 ≧ 1/16
    
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sinchee 该用户已被删除
发表于 19-11-2004 02:39 AM | 显示全部楼层
多普勒效应
18/11/2004,星期四
高中 (A37)
设 0<a,b<90度 , 且 sin a-sin b = -1/3
     cos a - cos b= (2√2) /3
证明 b - a =60度


    

[ Last edited by sinchee on 19-11-2004 at 05:24 PM ]
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430201 该用户已被删除
发表于 19-11-2004 09:00 AM | 显示全部楼层
□昨晚太累了,抱歉!修正如文,敬請斧正。謝謝!□

設N的末尾二數為B,其餘為A
則N=100A+B
   N^2=10000A^2+2×100A×B+B^2-----(1)
即2×100A×B+B^2的末尾四數為6004
  B^2的末二位數為04
設B=(ab),顯然b=2或8
一)若b=2
  B^2=100a^2+40a+4
  得a=0或5
  1)a=0→B=02,
    則2×100A×B+B^2=400A+4
即400A的末尾四數為6000
可得A的尾數為0或5
若A的尾數為0,得A的最小值為40;
若A的尾數為5,得A的最小值為15。
  2)a=5→B=52,
    則2×100A×B+B^2=10400A+2704
即10400A的末尾四數為3300
    但4的倍數的尾數不可能為3,故無解。
二)若b=8
   B^2=100a^2+160a+64
   得a=4或9
  1)a=4→B=48,
    則2×100A×B+B^2=9600A+2304
即9600A的末尾四數為3700
    但6的倍數的尾數不可能為7,故無解。
  2)a=9→B=98,
    則2×100A×B+B^2=19600A+96044
即19600A的末尾四數為6400
可得A的尾數為4或9
若A的尾數為4,得A的最小值為34;
    若A的尾數為9,得A的最小值為59。

綜上所述,故最小的N為1502
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sinchee 该用户已被删除
发表于 19-11-2004 09:09 AM | 显示全部楼层
430201 于 19-11-2004 09:00 AM  说 :
□昨晚太累了,抱歉!修正如文,敬請斧正。謝謝!□
... ...
... ...

綜上所述,故最小的N為1502


答案还是错了,最小的 N 应该是 998 才对!!!
    
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 楼主| 发表于 19-11-2004 10:10 AM | 显示全部楼层
答案是998
sinchee 说做法啦
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发表于 19-11-2004 01:26 PM | 显示全部楼层
梵谷 于 18-11-2004 14:17  说 :
大专 (C14)
A赢的可能性最大


不对。想想一下赢的可能性吧!


fritlizt 于 10-11-2004 18:22  说 :


pair怎么玩?
我不懂eh...可以教教一下吗?


[ Last edited by fritlizt on 10-11-2004 at 06:24 PM ]


该怎么教呢?我怕教下去数学论坛就变成赌博论坛了。
问问别人或看看一些有关赌博的戏吧!
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430201 该用户已被删除
发表于 19-11-2004 02:20 PM | 显示全部楼层
※哈哈!老了!※

設N的末尾二數為B,其餘為A
則N=100A+B
   N^2=10000A^2+2×100A×B+B^2-----(1)
即2×100A×B+B^2的末尾四數為6004
  B^2的末二位數為04
設B=(ab),顯然b=2或8
一)若b=2
  B^2=100a^2+40a+4
  得a=0或5
  1)a=0→B=02,
    則2×100A×B+B^2=400A+4
即400A的末尾四數為6000
可得A的尾數為0或5
若A的尾數為0,得A的最小值為40;
若A的尾數為5,得A的最小值為15。
  2)a=5→B=52,
    則2×100A×B+B^2=10400A+2704
即10400A的末尾四數為3300
    但4的倍數的尾數不可能為3,故無解。
二)若b=8
   B^2=100a^2+160a+64
   得a=4或9
  1)a=4→B=48,
    則2×100A×B+B^2=9600A+2304
即9600A的末尾四數為3700
    但6的倍數的尾數不可能為7,故無解。
  2)a=9→B=98,
    則2×100A×B+B^2=19600A+96044
即19600A的末尾四數為6400
可得A的尾數為4或9
若A的尾數為4,得A的最小值為34;
    若A的尾數為9,得A的最小值為9。

綜上所述,故最小的N為998
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发表于 19-11-2004 04:59 PM | 显示全部楼层
梵谷 于 18-11-2004 02:17 PM  说 :
大专 (C14)
A赢的可能性最大

答案应该是(D)才对啦!!!

想想一下,5 个人都拿 3 个 A ,
只要有人拿 4 张相同的牌就输了,5 人输的机会都相等。
但如果有人拿同花顺,他们也会输,
而 (D) 的情况,别人拿同花顺的机会最小,
即,(D) 赢的机会最大。
    
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sinchee 该用户已被删除
发表于 19-11-2004 05:43 PM | 显示全部楼层
多普勒效应 于 19-11-2004 10:10 AM  说 :
答案是998
sinchee 说做法啦


因为 N^2 的末尾数为 4,
所以 N = 10A ± 2
     N^2 = 100A^2 ± 40A + 4

又,因为 N^2 的百位数字为 0,
故得知 A 的末尾数必须是 0,
因此,N 可以写成 100B ± 2,
      N^2 = 10000B^2 ± 400B + 4

要使千位数字为 6,
则 ± 400B 必须是 +...6000 或 -...4000。
即 B = 15,65,... 或 10,60,...
由此可见,N 的最小值为 100(10)-2,即998。
    
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发表于 19-11-2004 07:19 PM | 显示全部楼层
初中 (A39)
1+2+3+4+...+9=45=9*5
只要证明 5|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5) 和 9|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5) 就可以了。
(a + b) ^5 = (a + b)(a^4 - a^3*b + a^2*b^2 - a*b^3 + b^4)
所以 1^5 + 2^5 + ... + 9^5 = (1^5 + 9^5) + (2^5 + 8^5) + (3^5 + 7^5) + (4^5 + 6^5) +
                              5^5
     1^5 + 2^5 + ... + 9^5 = 10*A + 10*B + 10*C + 10*D + 5^5 (A,B,C和D为正整数)
所以 5|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5)
     1^5 + 2^5 + ... + 9^5 = (1^5 + 8^5) + (2^5 + 7^5) + (3^5 + 6^5) + (4^5 + 5^5) +
                              9^5
     1^5 + 2^5 + ... + 9^5 = 9*E + 9*F + 9*G + 9*H + 9^5
所以 9|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5)
所以(1+2+3...+9)|(1^5 + 2^5 + ... + 9^5)。

[ Last edited by chiaweiwoo1 on 19-11-2004 at 07:56 PM ]
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萧晨 该用户已被删除
发表于 20-11-2004 03:23 AM | 显示全部楼层
大专 (C13)
证明  2< (1 + 1/n)^n <3
如果 n 是任何 自然数。


说真的,如果给我解这一题的话
我一定毫不犹豫的用画图法
首先,(1 + 1/n)^n   and n is natural number
可以化为(1 + k)^(1/k) and  0<k<1
then draw 3 lines--->y=1+k
y=2^k
y=3^k
可以发现在0<k<1里面
y=2^k一直都在y=1+k之下---->很简单,不用画图出来也知道啦。。。(因为只有在k=0,k=1相交)
y=3^k一直都在y=1+k之上  (因为两个交点,一个是k=0,一个是k<0)
2^k<1+k<3^k
===>2<(1+k)^(1/k)<3   当0<k<1
===>2<(1 + 1/n)^n<3   当n is natural number

(可以这样变换因为n is natural number 的range在0<k<1的domain里面)


当然,还是有其他的解法
证明(1+1/n)^n-2>0,(1+1/n)^n-3<0


(1+1/n)^n-2
=[(1+n)/n]^n-2
=[(1+n)^n-2n^n]/(n^n)--------->分母先搁着一边,打字太麻烦了
=(1+n)^n-2n^n--->展开
=1+(nC1)(n)+(nC2)(n^2)+...+(nC(n-2))(n^(n-2))+(nC(n-1))(n^(n-1))+(nCn)(n^n))-2n^n
由于最后三项相加就是0-->(nC(n-1))(n^(n-1))+(nCn)(n^n))-2n^n=0
剩下的全部是正数
所以,(1+1/n)^n-2>0
(1+1/n)^n>2

然后就是证明(1+1/n)^n-3<0--->maximum=e<3
所以就解到了

另外一个解法y=(1+1/n)^n是一个monotonic increasing function(容易证明)
所以取最小n=1,y=2
取最大,用limitn-->无限,y=e
所以就解到



------嗯。。。到底这个做法对不对

多普勒网友还没有揭晓答案列。。。
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萧晨 该用户已被删除
发表于 20-11-2004 03:24 AM | 显示全部楼层
萧晨 于 18-11-2004 04:13 PM  说 :
高中 (B39)


simplified (5r+2)/r(r+1)(r+2)
===>5r/r(r+1)(r+2) + 2/r(r+1)(r+2)
= 5/(r+1)(r+2) + 2/r(r+1)(r+2)----〉做法在下面
= 5[1/(r+1) - 1/(r+2)] + 2[1/r - 1/(r+1)] - [1/r - 1/(r+2)]
然后summation
=5{1/2-1/102} + 2{1/1-1/101} - {1/1+1/2-1/101-1/102}
=125/51 + 200/101 - 7625/5151
=15200/5151

(不知道有没有粗心,不过做法就是长。。。)





另外simplify 1/r(r+1)(r+2)
===>[1/r] [1/(r+1)(r+2)]
===>[1/r] [1/(r+1) - 1/(r+2)]
===>[1/r(r+1)] - [1/r(r+2)]
===>[1/r - 1/(r+1)] - [1/r - 1/(r+2)]/2

我做得这题。。。
也没有说对还是不对。。。
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发表于 21-11-2004 11:42 PM | 显示全部楼层
萧晨 于 20-11-2004 03:23 AM  说 :
大专 (C13)
证明  2< (1 + 1/n)^n <3
如果 n 是任何 自然数。


说真的,如果给我解这一题的话
我一定毫不犹豫的用画图法
首先,(1 + 1/n)^n   and n is natural number
可以化为(1 + k)^(1/k) and ...


"y=3^k一直都在y=1+k之上  (因为两个交点,一个是k=0,一个是k<0)"
不显然,想法不错.(本题不应使用任何微分知识吧)


"另外一个解法y=(1+1/n)^n是一个monotonic increasing function(容易证明)
所以取最小n=1,y=2
取最大,用limitn-->无限,y=e"
monotonic increasing function 必须有界才有极限.题目的最终目的应该是要证明因<3,所以极限存在,设之为e.有点倒过来做似的.

[ Last edited by yaahoo on 21-11-2004 at 11:43 PM ]
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430201 该用户已被删除
发表于 22-11-2004 08:14 PM | 显示全部楼层
初中 (A42)
若n^2 + 7可以被8整除,求 n 的形式

(1)若n=4k
則n^2 + 7=16k^2+7=8(2k^2)+7不可以被8整除
(2)若n=4k+1
則n^2 + 7=(16k^2+8k+1)+7=8(2k^2+k+1) 可以被8整除
(3)若n=4k+2
則n^2 + 7=(16k^2+16k+4)+7=8(2k^2+2k+1)+3 不可以被8整除
(4)若n=4k+3
則n^2 + 7=(16k^2+24k+9)+7=8(2k^2+3k+2) 可以被8整除
故當n^2 + 7可以被8整除時,則n 的形式為4k+1或4k+3【n 的形式也可簡化為4k±1】
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发表于 22-11-2004 08:30 PM | 显示全部楼层
多普勒效应 于 31-10-2004 22:07  说 :
22/11/2004,星期一
初中 (A40)
解联立方程:
  X_1 + X_2 + ... + X_1999 = 1999
(X_1)^4 + (X_2)^4 + ... + (X_1999)^4 = (X_1)^3 + (X_2)^3 + ... + (X_1999)^3
(待解)
(答案:)
(解对者:)

23/11/2004,星期二
初中 (A41)
已知 a_1 + a_2 + ... + a_n = 2002
求 (a_1)(a_2)...(a_n)的最大值。
(待解)
(答案:)
(解对者:)

真的是初中題目嗎...
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 楼主| 发表于 22-11-2004 09:21 PM | 显示全部楼层
灰羊 于 22-11-2004 08:30 PM  说 :

真的是初中題目嗎...



是摘自我国奥林匹克数学比赛的 Bongsu(初阶)和Muda(中阶)
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sinchee 该用户已被删除
发表于 23-11-2004 10:31 AM | 显示全部楼层
430201 于 22-11-2004 08:14 PM  说 :
初中 (A42)
若n^2 + 7可以被8整除,求 n 的形式

(1)若n=4k
則n^2 + 7=16k^2+7=8(2k^2)+7不可以被8整除
(2)若n=4k+1
則n^2 + 7=(16k^2+8k+1)+7=8(2k^2+k+1) 可以被8整除
(3)若n=4k+ ...


只要 n 是奇数就行了!!!
    
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