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证明题

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发表于 26-6-2010 07:13 PM | 显示全部楼层 |阅读模式
Let a, b, c, d be integers with a >b > c > d > 0.

Suppose that ac + bd =(b + d + a - c)(b + d -a + c)

Prove that ab+ cd is not prime.
请各位高手帮忙...
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发表于 26-6-2010 10:08 PM | 显示全部楼层
回复 1# kelfaru


我乱做一番...



不会了...
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 楼主| 发表于 26-6-2010 10:42 PM | 显示全部楼层
本帖最后由 kelfaru 于 26-6-2010 10:45 PM 编辑

回复 2# Allmaths


可能我们先需要知道Prime Number的属性吧...
Prime Number 只有两个factor>>>(1和自己本身的数值)
可能我们需要从这里下手来证明ab+cd拥有超过两个factor来证明ab+cd不是Prime Number吧...
看看哪一位数学高手来解决这题吧
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发表于 28-6-2010 02:29 AM | 显示全部楼层
a >b > c > d > 0

">" 还是 "≥" ??
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 楼主| 发表于 28-6-2010 08:59 PM | 显示全部楼层
回复 4# yw46


">"
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发表于 22-7-2010 10:02 PM | 显示全部楼层
怎样都做不出来,开始怀疑ac + bd =(b + d + a - c)(b + d -a + c)的真实性。

run了一天的program,就是没有发现ac + bd =(b + d + a - c)(b + d -a + c)的一个例子。

可以公布解答吗?
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发表于 27-7-2010 04:26 PM | 显示全部楼层
有重新调整过,得到一些result
range没有调好,a跑到很大,所以没有出result.
   a    b  c  d     ac + bd
13  11  9  1  152 = 2 * 2 * 2 * 19
18  14  7  3  273 = 3 * 7 * 13
18  14  11  3  285 = 3 * 5 * 19
(a<20)
不过还是证明不出来,楼主公布答案吧!
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发表于 28-7-2010 08:43 PM | 显示全部楼层
有重新调整过,得到一些result
range没有调好,a跑到很大,所以没有出result.
   a    b  c  d     ac +  ...
puangenlun 发表于 27-7-2010 04:26 PM



    楼主本身也没有答案
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发表于 28-7-2010 10:33 PM | 显示全部楼层
我最多做到这里

ab+cd=(a+d)(b+c)+(b+c)(b-c)+(d+a)(d-a)
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 楼主| 发表于 2-8-2010 01:01 PM | 显示全部楼层
回复 8# peaceboy

等待朋友的答案...
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发表于 2-8-2010 09:50 PM | 显示全部楼层
为了这道问题,我现在都已经疑神疑鬼了

只要看到一个类似的等式

就是想用来试试看

拜托快点弄到答案
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发表于 7-8-2010 05:59 PM | 显示全部楼层
找着。。。><
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 楼主| 发表于 8-8-2010 12:30 AM | 显示全部楼层
回复 12# xiang911

xiang啊...别再害人了啦,快点公布答案吧
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 楼主| 发表于 15-8-2010 02:29 PM | 显示全部楼层
小弟随便做的,有错误请纠正...

Suppose that ac+bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c)
ac + bd = b^2 + d^2 + 2bd - a^2 - c^2 + 2ac
         0 = b^2 + d^2 - a^2 - c^2 + ac + bd
ac + bd = a^2 - b^2 + c^2 - d^2
ac + bd = (a-b)(a+b) + (c+d)(c-d)

From the equation,
a = (a-b)
c = (a+b)
b = (c+d)
d = (c-d)

So,
ab = (a-b)(c+d)
cd = (a+b)(c-d)
ab+cd = (a-b)(c+d)+(a+b)(c-d)
          = ac+ad-bc-bd + ac-ad+bc-bd
          = 2ac-2bd
          = 2(ac-bd)
A prime number has exactly two exactly 2 distinct natural number divisors: 1 and itself...

From the equation, ab+cd has more than 2 distinct natural number divisors, 1,2 and (ac-bd), so ab+cd is not a Prime Number.
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发表于 15-8-2010 05:16 PM | 显示全部楼层
回复 14# kelfaru

《From the equation,
a = (a-b)
c = (a+b)
b = (c+d)
d = (c-d)》

这个部分有误!照这么假设的话,那么 a=b=c=d= 0 了 ....

这题目是 IMO 2001 shortlist (number theory problem 5)
有兴趣者可以可以自己去查寻。
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 楼主| 发表于 15-8-2010 10:01 PM | 显示全部楼层
回复 15# dunwan2tellu


这个部分有误!照这么假设的话,那么 a=b=c=d= 0 了 ....

不明白你的意思, 为何 a=b=c=d= 0...
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 楼主| 发表于 15-8-2010 11:09 PM | 显示全部楼层
本帖最后由 kelfaru 于 16-8-2010 01:43 AM 编辑

再来一次

ac + bd = b^2 + d^2 + 2bd - a^2 - c^2 + 2 ac
ac + bd = b^2 - a^2 + d^2 - c^2 + 2bd + 2ac
ac + bd = (b-a)(b+a) + (d-c)(d+c) + 2bd + 2ac
         0 = (b-a)(b+a) + (d-c)(d+c) + bd + ac
- bd - ac = (b-a)(b+a) + (d-c)(d+c)

纠正之前的错误

*a>b>c>d>0

b-a < 0
so, b-a = -b
     b+a = d

d-c < 0
so, d-c = -c
     d+c = a

So,
ab = (d+c)(a-b)
cd = (c-d)(b+a)

ab+cd = (d+c)(a-b) + (c-d)(b+a)
          = ad-bd+ac-bc + bc+ac-bd-ad
          = 2ac-2bd
          = 2(ac-bd)

跟之前的概念一样, ab+cd 有超过三个divisors...
有错的话请再纠正...
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 楼主| 发表于 15-8-2010 11:14 PM | 显示全部楼层
本帖最后由 kelfaru 于 15-8-2010 11:16 PM 编辑

对不起,还是有错误...
b+a = d 不成立==

d-c= -c 也不成立==
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 楼主| 发表于 16-8-2010 01:43 AM | 显示全部楼层
回复 11# puangenlun

http://www.imomath.com/imocomp/sl01.pdf

pg 66
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发表于 16-8-2010 06:21 PM | 显示全部楼层
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