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组合数量 (Permutation & Combination)

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发表于 6-12-2010 08:54 PM | 显示全部楼层 |阅读模式
问题是:
有n个东西,全部可以分成k个组,每个组里的东西的数量是:

第1组有m_1个东西
第2组有m_2个东西
第3组有m_3个东西
。。。 。。。
第k组有m_k个东西

就是说 m_1 + m_2 + m_3 + ... ... + m_k = n

每个组里的东西都是一样的。

那么,要在这n个东西里,
1)排出r个东西来(permutation, order important),有多少排法?
2)选出r个东西来(combination,order unimportant),有多少选法?

涉及的未知数都是非负整数(这说出来好像有点多余,但纯粹为严谨起见)。

嗯,用一个较容易想象的例子来示范一次:
有10个英文字母,能分成5组,亦即字母A有1个,字母B有1个,字母C有2个,字母D有3个,字母E有3个, (ABCCDDDEEE),从这10个英文字母里,
(1)若要排出4个字母,有多少排法?
(2)若要选出4个字母,有多少选法?

两题我都没有答案。例子可以不必回答,只是示范而已,重要的是一般公式。

我相信这种问题,应该有数学家已经在很久以前导出了答案,但我没接触过,也不知道这属于数学里的什么范围了。普通书里的permutation & combination 的项目没有讨论到如此复杂的情况。

各位指教了。
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发表于 9-12-2010 07:53 AM | 显示全部楼层
这类题目我做过。
我没有办法导出一般的情况。
你给题目我就有办法解答。
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 楼主| 发表于 9-12-2010 04:50 PM | 显示全部楼层
这类题目我做过。
我没有办法导出一般的情况。
你给题目我就有办法解答。
mathlim 发表于 9-12-2010 07:53 AM


我也做过这类型的特定题目(没有未知数)。嗯,我遇到过的题目是最多只有两种同样东西的情况,而这两种东西的各自的数目也不多,一两个,或三个而已。所用的方法是设定排法或选法里只有一个这种东西的时候,计算会有多少排法;然后设定排法或选法里只有两个这种东西的时候,计算会有多少排法;这样继续设定下去直到全部可能性被列出,然后将每个案例的答案总和起来,就拿到最后答案。

不知道你用的方法是不是这类型的?
如果是别的,可以用我附上的例子,示范一次吗?
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发表于 10-12-2010 06:49 AM | 显示全部楼层
有10个英文字母,能分成5组,亦即字母A有1个,字母B有1个,字母C有2个,字母D有3个,字母E有3个, (ABCCDDDEEE),从这10个英文字母里,
(1)若要排出4个字母,有多少排法?
(2)若要选出4个字母,有多少选法?

(1)分四种情况:
Ⅰ。三个相同
2C1×3C1

Ⅱ。两个两个相同
3C2

Ⅲ。两个相同两个不同
3C1×4C2

Ⅳ。四个不同
5C4

(2)只要乘上排列数即可
Ⅰ。三个相同
2C1×3C(4!/3!)

Ⅱ。两个两个相同
3C(4!/2!2!)

Ⅲ。两个相同两个不同
3C1×4C(4!/2!)

Ⅳ。四个不同
5C4×(4!)
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发表于 10-12-2010 10:20 AM | 显示全部楼层
回复 4# mathlim


   是不是1和2次序調轉了?
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 楼主| 发表于 10-12-2010 12:39 PM | 显示全部楼层
有10个英文字母,能分成5组,亦即字母A有1个,字母B有1个,字母C有2个,字母D有3个,字母E有3个, (ABCCDD ...
mathlim 发表于 10-12-2010 06:49 AM

不知道你认不认为这类方法有缺点?
那就是,当数目越来越大的时候,就会超出人的直觉范围,到最后也不敢肯定是对或错(因为无法保证每一种情况都被考虑到)。
当数目小时,还可以很直觉的肯定会有什么样的情况发生。

还是你已经发展出了一套方法,无论数目多大,你都有能力肯定每一种情况都被考虑到?若是,可否分享一下。
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发表于 10-12-2010 06:16 PM | 显示全部楼层
本帖最后由 mathlim 于 10-12-2010 06:21 PM 编辑

回复 5# puangenlun


是啊!的确是对调了!通常我们先处理选法,再考虑排列数。谢谢!
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发表于 10-12-2010 06:20 PM | 显示全部楼层
回复 6# Scoutfai


排列组合,要的就是掌握规律。
掌握规律,就不会重复,也不会遗漏。
比如选8个,规律如下:
8
71
62
611
53
521
5111
44
431
422
4211
41111
332
3311
3221
32111
311111
2222
22211
221111
2111111
11111111
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 楼主| 发表于 10-12-2010 06:41 PM | 显示全部楼层
回复  Scoutfai


排列组合,要的就是掌握规律。
掌握规律,就不会重复,也不会遗漏。
比如选8个,规 ...
mathlim 发表于 10-12-2010 06:20 PM

这个数阵是怎样用的?
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发表于 11-12-2010 12:14 PM | 显示全部楼层
回复 9# Scoutfai

8:8个相同
71:7个相同1个不同
62:6个相同2个相同
...
...
32111:3个相同2个相同3个不同
...
...
221111:2个相同2个相同4个不同
...
...
11111111:8个不同
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 楼主| 发表于 11-12-2010 01:16 PM | 显示全部楼层
回复  Scoutfai

8:8个相同
71:7个相同1个不同
62:6个相同2个相同
...
...
32111:3个相同2个相 ...
mathlim 发表于 11-12-2010 12:14 PM

明白了。谢谢。
这个逻辑,理应可以沿用到一般情况去,可是就怎么找不到头绪!?
你是正在读纯数学系的吗?有没有讲师是这领域的专家?
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发表于 13-12-2010 06:35 AM | 显示全部楼层
我是数学系毕业的。
目前是一个中学老师。
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 楼主| 发表于 13-12-2010 12:56 PM | 显示全部楼层
我是数学系毕业的。
目前是一个中学老师。
mathlim 发表于 13-12-2010 06:35 AM

原来是为人师表了。你还有跟大学里的这方面的讲师有联系吗?如果有,可否帮我询问他们?
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 楼主| 发表于 13-12-2010 12:58 PM | 显示全部楼层
其他人不知道有什么想法呢?
难道这种问题也和大多数的Differential Equation一样,只有numerical solution,没有analytical solution?
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发表于 13-12-2010 01:06 PM | 显示全部楼层
回复 13# Scoutfai

我在大学混了四年,数学知识没有什么增加,只是某些老师给了我一些启示。
我也没有再跟大学联系,大部分老师也换了!
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 楼主| 发表于 17-12-2010 07:15 PM | 显示全部楼层
看来这一题是解不开谜底了。
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发表于 22-12-2010 02:11 AM | 显示全部楼层
这一题应该是中学题吧

我试试看

1. 10P4/(2!*3!*3!)
2. 10C4/(2!*3!*3!)
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 楼主| 发表于 22-12-2010 03:50 PM | 显示全部楼层
这一题应该是中学题吧

我试试看

1. 10P4/(2!*3!*3!)
2. 10C4/(2!*3!*3!)
尽善尽美 发表于 22-12-2010 02:11 AM

国中的课程纳要是不会给太多duplicates的。独中可能会有吧。到国立中六就有时会遇到两种或三种duplicates的题目。
若是有给数目,确实不会难,顶多是过程长吧了。但现在我要求的是general formula,难度提高了很多哦。

不好意思,你的答案不正确,方法应和上面讲的一样。必须case by case处理,也就是我会说过程长的原因。
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