请教关于 Probability

yipei

各位会做的，帮帮忙


E(X)=3                   E(Y)=1
Var(X)=16              Var(Y)=25
Corr(X,Y)=3/5
Use the Cauchy Schwatz Inequality to obtain an upper bound for
(a） E(XY)
(b)  E|XY|



(a) 我会做，因为 lecturer 有教

        Var（X）=E[X^2] - (E[X])^2
        E[X^2)=16+9=25

        Var(Y)=E[Y^2] - (E[Y])^2
        E[Y^2]=25+1=26


       E(XY) <=  {E(X^2) E(Y^2)}^1/2
                  =  {25 X 26}^1/2
                  =   25.495


      那么（b) 呢？ E|XY|  和 E(XY) 有什么差别？E|XY| 又是什么？ lecturer 说 E|XY| 和 E(XY)  是不同的哦，叫我们自己找。
而且题目里的 Corr(X,Y) = 3/5 还没用到。。。。 E|XY| 可用到 Corr(X,Y) = 3/5，怎么做哦？

yipei

Let X(w) = c (a constant)    for all w
Prove that it is a random variable measurable function with respect to any sigma-field.












if I want to prove random variable measurable function,how can I prove it? and what method can I use?

详圣

回复 1# yipei

本人不会
Cauchy Schwatz Inequality

不过

E( |XY| ) <= E(|X||Y|)
             <= (E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5
             <= (E (X^2)E(Y^2))^0.5
             <= 25.495
应该不会有错

yipei

回复 3# 详圣


    但那时 lecturer 给的 hint 是 E(XY) 和 E|XY| 是不同的东西哦。。。。
如果说  E|XY| = E(|X||Y|), 拿不就一样的咯？？？？
好 blur 。。。。

详圣

回复 4# yipei

我没有说 E|XY| = E(|X||Y|)

只是
E(XY) <= E|XY| <= E(|X||Y|)

就好象
XY <= |XY| <= |X||Y| 的道理。。

yipei

回复 5# 详圣


   

我没有说 E|XY| = E(|X||Y|)

只是
E(XY) <= E|XY| <= E(|X||Y|)

就好象
XY <= |XY| <= |X||Y| 的道理。。

那么 E|XY| <= E(|X||Y|)， E(|X||Y|) = (E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5　　吗？　
如果是　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　的话就是，如果不是　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　呢？该怎么算　 E(|X||Y|)　呢？


E( |XY| ) <= E(|X||Y|)
             <= (E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5
             <= (E (X^2)E(Y^2))^0.5
             <= 25.495
？？？？
(E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5　不是应该是　= (3^2 X 1^2)^0.5 　吗？　　因为　Ｅ（Ｘ）＝３，Ｅ（Ｙ）＝１　嘛。。。。

Ｈｏｌｄｅｒ＇ｓ　Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　有个　ｆｏｒｍｕｌａ　是

|E(XY)|  <=   (E|X|^r)^1/r    X   (E|Y|^s)^1/s

你觉得能用在这题吗？但是很奇怪，　ｃｏｒｒ（Ｘ，Ｙ）　完全没用到，ｌｅｃｔｕｒｅｒ　既然给了，应该不会没用的吧。。。。

详圣

回复 6# yipei


那么 E|XY| <= E(|X||Y|)， E(|X||Y|) <= (E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5　　吗？　


如果是　independent　的话就是，如果不是　independent　呢？该怎么算　 E(|X||Y|)　呢？

E(|X|^2) = E(X^2) , 因为在平方下，两个都会是positive number. 你不需要算 E(|X||Y|) 丫，你已经用那个formula 了.

E( |XY| ) <= E(|X||Y|)
             <= (E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5
             <= (E (X^2)E(Y^2))^0.5
             <= 25.495

(E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5　不是应该是　= (3^2 X 1^2)^0.5 　吗？　　因为　Ｅ（Ｘ）＝３，Ｅ（Ｙ）＝１　嘛。。。。

E(|X|^2) 和 E(|X|)^2 不一样,清楚点应该是(E(|X|^2))(E(|Y|^2))， 后面的step 其实跟前一题的step 一样，只是多一个step E( |XY| ) <= E(|X||Y|).

你觉得能用在这题吗？但是很奇怪，　ｃｏｒｒ（Ｘ，Ｙ）　完全没用到，ｌｅｃｔｕｒｅｒ　既然给了，应该不会没用的吧。。。。
根据经验，有给的不一定要用

yipei

回复 7# 详圣


   

E( |XY| ) <= E(|X||Y|)
             <= (E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5
             <= (E (X^2)E(Y^2))^0.5
             <= 25.495

E(|X|^2) 和 E(|X|)^2 不一样,清楚点应该是(E(|X|^2))(E(|Y|^2))， 后面的step 其实跟前一题的step 一样，只是多一个step E( |XY| ) <= E(|X||Y|).

你的算法， E( |XY| )<= E(|X||Y|)<= (E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5， 为何之后又 <= (E (X^2)E(Y^2))^0.5？？？？
为什么 <= (E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5 是  <= (E (X^2)E(Y^2))^0.5 呢？？？？

你觉得能用在这题吗？但是很奇怪，　ｃｏｒｒ（Ｘ，Ｙ）　完全没用到，ｌｅｃｔｕｒｅｒ　既然给了，应该不会没用的吧。。。。
根据经验，有给的不一定要用

根据经验，我这 lecturer 给的 "hint" 都是一定有用到的，如果没有用到，可能是少了些 step, 而且之前试过做 找 probability 的问题，只是少些了 sigma-field, 直接找 probability, 就整题错完了，即使算到的最后答案是对的，也 1 分也没有。。。。

详圣

回复 8# yipei

其实可以这样写了，
(E(|X|^2)E(|Y|^2))^0.5 = (E (X^2)E(Y^2))^0.5

因为在平方下，所有的value/absolute value 都会是positive number.

只是
E(X) <= E(|X|)

根据经验，我这 lecturer 给的 "hint" 都是一定有用到的，如果没有用到，可能是少了些 step, 而且之前试过做 找 probability 的问题，只是少些了 sigma-field, 直接找 probability, 就整题错完了，即使算到的最后答案是对的，也 1 分也没有。。。。

那么我不知道了

Cov 在 Cauchy Schwatz Inequality 也有一个用法 ：
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality#Probability_theory

不过我看不出怎样relate E(|XY|)

yipei

    Cov 在 Cauchy Schwatz Inequality 也有一个用法 ：
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality#Probability_theory

不过我看不出怎样relate E(|XY|)

我也是看了很久，也不知该怎么做才能确定我的做法是没错的。。。。
无论如何，谢谢你的解答，我也认为你的做法很有道理。。。。明天就要交答案的，我也没想到其它做法，就照 你的做法比较正确。。。。 哈哈。。。。 可是到最后， lecturer 也不会让我们知道我们作对还是错。。。。只是每次都说很多人都做错，还有人错完。。。。 haiz.... 明天就考试了，很怕会出这题，因为他很喜欢将我们不会作的，又难找到答案的难题出现在小考上。。。。

详圣

回复 10# yipei

你的lecturer 不像要教你们得 @.@ 如果连对错都不告诉你们，好像害你们而已。

偷偷告诉我什么大学

yipei

回复 11# 详圣


   

你的lecturer 不像要教你们得 @.@ 如果连对错都不告诉你们，好像害你们而已。

那是
assignment 的题目，我们都不会知道我们做对还是错，对的话就谢天谢地咯，错就被扣分咯，assignment最后对哪题错哪题都不知道，就连考卷，对什么错什么也不知道。。。。

要看回自己的考卷就得去见他，但又要
make appointment, 他太忙了，我也懒得去找他，make appointment 也不知要到几时才能见到他。。。。
haiz…. 希望下次的考试可以顺利考到高分。。。。