dx和∆x和δx有什么分别？

zolo

dx和∆x和δx有什么分别？

puangenlun

根據我的了解

dx：這個是微分運算
∆x和δx：表示很小的x

當lim δx->0就可以定義dx

zolo

回复 2# puangenlun

所以δx和∆x是一样的？

puangenlun

∆和δ只是大寫與小寫的關係罷了

~HeBe~_@

δx 是 一个x1和x2之间的小差异/小相差。(a small change in x)


dx 是微分 (differentiate x)

dx/dy (differentiate x with respect to y)


dy    =    lim      f(x+δx) - f(x)
dx        δx->0             δx

Scoutfai

我分享我的“讲错不负责任"自习成果，对于dx, Δx 和 δx 的见解。嗯，我也希望有人会指点我讲错的地方。

在single variable的讨论范围类，定义f为一个 real function，y为dependent variable, x为independent variable的话：
y = f(x)        （任何时候都可以这样写）

平常，Δx和δx都一样，作者喜好而以。意即 Δx = δx  。Δ和δ都表示change of ？？ ， Δx和δx 就是change of x。Change就是 final value minus initial value。接着，看以下的图：


所以， Δx = δx = x_2 - x_1
因为 f(x_1) = y_1 , f(x_2) = y_2 , 所以, Δy = δy = y_2 - y_1 = f(x_2) - f(x_1)
因此, 任何Δ或 δ 的term 都有一个real value （你可能知道，可能不知道，看情况）。

通常，当x_2 - x_1是小的时候，人们用δx；大的时候，人们用Δx。怎样才算是大，才算是小呢？没有定论，看你心情。
Δx是比较通用的，因为δ（不是δx）这个符号在calculus通常被用在epsilon-delta definition of limit。

dx, 单单一个这样的写法，包含两个相近但不一样的概念。第一个是普通calculus认知里的infinitesimal（无限小），可以被称为differential。第二个是linear approximation里的dx, 也被称为differential（在这个应用领域里，不称它为infinitesimal）。

先谈第二个。
在calculus的differentiation里，first derivative可以被写成 dy/dx 或 f '(x) 或 df/dx，而它的定义是：
                   （定义1）
dy/dx 是 Leibniz notation。 dy/dx 是一个个体，不是dy除于dx。dy和dx在这里，没有被定义过，不具备任何意义。若在此阶段有人主张dy/dx 是一个 fraction，那么，它也可以被写成 (dy)/(dx)，但也一样的，(dy)和(dx)从来没被定义过，所以不是 fraction。在定义first derivative的过程里，只需用到limit,Δy和Δx ，不需用到单单一个dy和dx。
那么，为了防止误会，我现在开始将first derivative写成 f '(x)而已。
differential of x， dx 是被定义为change of x, 就是说 dx=Δx。也就是说，dx，也是一个有real value的independent variable （所以就不是什么infinitesimal）。
differential of y, dy却是不一样的定义，dy的定义是：

                 （定义2）

因为dy是f '(x) （一个real value variable）和 dx （一个real value variable）的乘积，所以 dy 也是一个 real value dependent variable （所以就不是什么infinitesimal）。



从以上的图可以清楚看到dy和Δy的分别。dy可以大过，小过，或等于Δy。
Δy是change of y due to a change of x。dy是rise of the tangent line due to the same change in x (dx=Δx)。
定义2的等式被拿来用作approximation，尤其是当dx或Δx很小的时候（但这个不是必须的条件）。

同样的方法，在multiple variable案例时，意即 u = f (x, y, z), df, 这时被称作total differential, 是定义为：

Generally,  当z = z(x_1, x_2, x_3, ... ... , x_p) 时， total differential of z, dz 是：

这些等式都是被拿来用在linear approximation上。

若有注意到，其实differential of y, dy的等式（定义2）和f(x)的approximation差不多：

所以 f(x) - f(a) ≈ f '(a) * (x-a) ,   f(x) - f(a) = Δy , x-a = Δx  , hence Δy ≈ f '(a)Δx , 不是跟定义2很像吗？

第二个在此完毕。

现在谈第一个。

Calculus一开始是被Newton和Leibniz各自独立创造的。两个天才都是在无限小(infinitesimal, dx，也被称为differential)这个概念上开始。Infinitesimal 就是infinitely small。但infinitesimal, dx的概念在Newton和Leibniz之前就有了一个不严谨定义：在Archimedes的书里，一个看起来严谨的infinitesimal定义被他提出，那就是：

“Archimediean property defines a number x as infinite if it satisfies the conditions |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ..., and infinitesimal if x≠0 and a similar set of conditions holds for 1/x and the reciprocals of the positive integers."

Speaking in heuristic term, dx 可以被当成是 。但同时候，dx ≠ 0, dx只是 dx → 0

很明显，infinitesimal，dx不是一个real number。它不存在在set of real number。所以它没有real value。人们无法定义infinitesimal的arithmetic operation的，因为人们也无法在real number系统上定义∞的加减乘除。infinitesimal, dx和∞一样，是一个概念。

如果infinitesimal不是real number, 那么怎么可以写一些这样的式子呢，如 x+dx ? 严谨来说，在real analysis上是不对的。可是，利用这个错误的做法，却时常可以导出正确的成果。Leibniz和Newton的年代还没有limit的概念，他们就这样不管它是一个错误的用法，发展出了正确的calculus成果。Leibniz说过：“differentials (infinitesimals)，it will be sufficient to simply make use of them as a tool that has advantages for the purpose of calculation, just as the algebraist retain imaginary roots with great profit.”

用infinitesimal, dx来发展calculus是受到某些严谨数学家的严厉批评的。例子：
y=x^2, 要找slope at x。用infinitesimal的方法，让e是一个infinitesimal（就是differential啦，只是不写成de而已）
slope = [ (x+e)^2 - x^2 ] / [ (x+e) - x ] = 2x + e
然后我们就会argue说因为e是无限小，比起2x，微不足道，所以可以cancelled, 因此 slope = 2x

答案是对，但方法呢？有矛盾吗?一开始e是不等于零，到最后却又可以变零。现在这情况还可以用intuition来认为最后变零无大碍，但当情况复杂化，人们又怎样判断呢？哲学家George Berkeley称这个e为the ghost of departed quantities。

讲回Leibniz那里。既然dx被Leibniz当作是一个无限小的change of x，那么，因为这个change of x而导致的change of y，也是无限小，被称为dy咯。所以Leibniz就很方便且毫无抗拒的将 f '(x) = dy/dx, 这里，Leibniz确实是当作fraction来看待。但就如以上说陈述的，成果对，方法不对（只从real analysis角度去看）。但又无可否认的，用这个错方法，很多calculus的formula都很容易被导出来喔，如chain rule, integration里的解释也变得很简单，非常intuitive。真的令数学家又爱又恨。

但在Cauchy和Karl Weierstrass发展出limit （epsilon-delta definition of limit)的概念后，infinitesimal就逐渐从主流数学被淘汰。现在所有的calculus, formally都是以limit为基础，没有用infinitesimal了。但在教学上，infinitesimal还是被用作一个heuristic, pedagogical tool of teaching，intuitive way of understanding。这些都是在不formal的情况下用而已，亦即嘴巴讲给你听而已，写在报告论文上还是回到limit。

可是，故事没有就此结束。

在1960，Abraham Robinson 将real number system 广张 (extend)，将infinitesimal严谨的定义并收入进去广张了的number system，这个system就叫成hyperreal, 用hyperreal来研究的叫non-standard analysis。因为1/dx就变成infinity了，所以infinity也在hyperreal 里面。在这个领域，infinitesimal, or differential, dx是一个跟我们直觉的无限小接近，但不完全一样的东西。要用到non-standard analysis里的differential, dx是使用很不一样的手法的（我只知道不一样，不懂几不一样）。利用hyperreal,也可以导出回那些被Leibniz用dx导出来的成果，但Robinson的是严谨，Leibniz的是有逻辑漏洞存在的（他只是不去理会）。因为hyperreal, dx又回到了严谨数学的怀抱里。

因为hyperreal是一个极少被人使用的领域，几乎就只有纯数学家使用，所以当普通的calculus书里讲到dx，dy时，多是指定义2的等式和用法，不是指infinitesimal。但，要找出将dx，dy当作infinitesimal来用，却又没有介绍non-standard analysis给读者的书，也很容易，市面上充斥太多这样的书本，这类书本，或人士，这样使用infinitesimal是一种ill concept来的，但却可以启发式的教导读者，唯读者应该有这样的觉悟，王道的做法始终是用limit。

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总结，
在现代主流严谨calculus里，dx = δx = Δx = change of x ， 但 dy ≠ δy, Δy ,         δy = Δy = change of y 。全部都有real value。

在非官方式里， dx = infinitesimal, 没有real value。 dx≠0 , 但 dx → 0 。也可以说  当
当 δx→ 0， δx = dx ≠ 0
当 Δx→ 0， Δx = dx ≠ 0      （δx，Δx一样的啦，写给网友看而已）

也曾经看过人主张
   lim_(δx→ 0) { δx } = dx
这个我目前不认同，因为 δx = Δx 都只不过是real variable, 而
lim_(x→ 0) {x} = 0
但 dx≠0，所以我不认同。

虽然没被hyperreal处理的infinitesimal， dx是一个ill concept，但很多工程师，科学家都是这样用它来导出公式，而多数时候都对。这就如Leibniz讲的，暂时放弃严谨要求，把这个ill concept当作一个tool来用。导出结果后，再请纯数学家用limit证明回出来。

好了，完毕。请指教。

鸭王之王

我分享我的“讲错不负责任"自习成果，对于dx, Δx 和 δx 的见解。嗯，我也希望有人会指点我讲错的地方。
...
Scoutfai 发表于 21-8-2011 06:36 PM

   您真的是让我大开眼界~
请问您有什么书本好介绍让我们能够得到一些非官方，但真正有意思的书呢？

Scoutfai

您真的是让我大开眼界~
请问您有什么书本好介绍让我们能够得到一些非官方，但真正有意思的书呢？ ...
鸭王之王 发表于 22-8-2011 01:45 AM

呃，抱歉，我没有特别从哪一本书得出以上的见解的。那些都是我以前从多本不同的calculus参考书加网上资料自己慢慢整理出一套summary。正式的参考书（书名很直接的告诉你是calculus, advance calculus, college calculus, etc，通常在大学图书馆可以找到的那些，教授拿来当课本的那些，McGraw-Hill, Princeton, etc这些出名参考书出版商），大多数都是用主流观的，亦即limit，是最正确严谨的。但这些书多数不会介绍一些历史，或一些idea背后经历过的事情。想要了解背后的过程，就必须参阅一些较不technical的书，如Jan Gullberg的Mathematics: From the birth of numbers。
  

也可以看看：
The Calculus Wars by Jason Socrates Bardi
  



  


这些书里面也是有equations的，只不过比较少。没有习题。我觉得它们比纯参考书好读很多。它们会将一个idea的原创者的思路呈现给读者。现在我们在正式参考书读到的东西都是经过现代数学家整理过的，原创者的思路方式可以是很不一样。比如说，很多人都学Newton的物理，但，Newton的原作，Principia，却是跟现代课本不大一样。
如果你找那些用infinitesimal来处理calculus而又没有用hyperreal的方法的（就是ill concept啦），随便找一本Engineering mathematics, engineering calculus, calculus for scientist之类的书就有了。它们的导出方式极少用limit，多是用differential。
由于我没正式学过non-standard analysis，所以没有办法介绍什么书给你。

avada

感觉上差不多一样意思啦

北方戰士

delta 是很小的意思
三角形是两个点的差别
d是derivative