全国中学奥林匹克数学'2005 (快链在 #1) (2008 赛前预备??)

mathlim

a+b ≥ (a^2b)^1/3 + (ab^2)^1/3
上述式子是在a,b都是非负数时成立。
如果a,b都是非正数，则
a+b ≤ (a^2b)^1/3 + (ab^2)^1/3
例：
a = -1, b = -8
a + b = -9 ≤ (a^2b)^1/3 + (ab^2)^1/3 = -6

要证明的话，可以令x = -a, y = -b, 其中a,b为非负数。
由a+b ≥ (a^2b)^1/3 + (ab^2)^1/3
- x - y ≥ -(x^2y)^1/3 - (xy^2)^1/3
x + y ≤ (x^2y)^1/3 + (xy^2)^1/3

mathlim

这一题可以用‘比较法’证明，中国的学生称‘作差法’。

为了方便起见，我令 m = a^1/3, b =b^1/3。
证明：m^3 + n^3 ≥ m^2n + mn^2

(m^3 + n^3) - (m^2n + mn^2)
= (m + n)(m^2 - mn + n^2) - (m + n)mn
= (m + n)(m^2 - 2mn + n^2)
= (m + n)(m - n)^2 ≥ 0

∴ m^3 + n^3 ≥ m^2n + mn^2

kelfaru

回复 82# mathlim


因该可以确定了...

ab正数(成立)
ab负数(不成立)

a正数,b负数(成立)*正数a的号码必须大过负数b的号码,
比如a=1.0001,b=-1,a+b=0.0001,(a^2b)^1/3 + (ab^2)^1/3=-0.00003333....(成立),
比如a=1,b=-1.0001,a+b=-0.0001,(a^2b)^1/3 + (ab^2)^1/3=0.00003333...(不成立)

a负数,b正数(成立)*正数a的号码必须小过负数b的号码.

mathlim

回复 83# kelfaru

a, b都是负数的话怎么会成立呢？
我不是举例了吗？

kelfaru

回复 84# mathlim


ab负数(不成立)

peaceboy

回复  kelfaru

a, b都是负数的话怎么会成立呢？
我不是举例了吗？
mathlim 发表于 21-8-2010 10:22 AM

他的意思是a乘b....

kelfaru

a,b正数(成立)
a,b负数(不成立)

a正数,b负数(成立)*正数a的号码必须大过负数b的号码,
比如a=1.0001,b=-1,a+b=0.0001,(a^2b)^1/3 + (ab^2)^1/3=-0.00003333....(成立),
比如a=1,b=-1.0001,a+b=-0.0001,(a^2b)^1/3 + (ab^2)^1/3=0.00003333...(不成立)

a负数,b正数(成立)*正数a的号码必须小过负数b的号码.

贪吃活该