初等不等式训练(题目在第1页)

铁蛋

试试 Q[12]

先证右手边不等式:

(1+2+...+n) / n ≥ (1*2*...*n)^(1/n) = (n!)^(1/n)

因为 (1+2+...+n) = n(n+1) / 2  , 故右手边不等式成立.

左手边要证: n! ≥ n^(n/2), 不妨证

log 2 + ... + log n ≥ n/2 log n

这里有个用几何的概念，可是觉得不够严谨 ...



再想以下 ..

pipi

铁蛋 于 20-6-2005 09:09 PM  说 :
左手边要证: n! ≥ n^(n/2), 不妨证
log 2 + ... + log n ≥ n/2 log n
这里有个用几何的概念，可是觉得不够严谨 ...

铁蛋兄，你的方法也行，只是。。。你的图有点错了！！
要证第 12 题的 ＂左手边＂，还有个简单方法
hi hi  hi 下回分晓！！

第 11 题应该不太难的，灰羊，还有其他网友，你们来试试看吧！！
第 15 题就得花一花时间！！！
（我还是用 AM-GM 不等式来完成。。。）

铁蛋

嘿，想到了。要证左手边，不妨证



pipi 的几何解是怎么样？

dunwan2tellu

让我试试第１２题 前半 部



[ Last edited by dunwan2tellu on 21-6-2005 at 05:53 PM ]

dunwan2tellu

１５）

设S=（a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)及
  R=(1/c-b+1)(1/a-c+1)(1/b-a+1)

S＝（a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)
=(ab-b+1)(bc-c+1)(ac-c+1)            分母abc=1
=(1/c-b+1)(1/a-c+1)(1/b-a+1)＝R        因 ab=1/c

这 里 要 分2 个 情 况 ，
（i) 当 S  中 的 其 中 一 个term ， 说(a-1+1/b) <0   时， 必 定a<1 , b>1.
这 时,(b-1+1/c)  和 (c-1+1/a)  都 为 正 。 所 以 S < 0 <1   得 证

(ii)  当 所 有S 的term 都 为 正 时 ，

用AM-GM, （a-1+1/b)(1/b-a+1)=< (1/b)^2
               (b-1+1/c)(1/c-b+1)=<(1/c)^2
                (c-1+1/a)(1/a-c+1)=<(1/a)^2

所以 S^2=SxR=<(1/abc)^2

S＾２=<1   得 S =< 1  证毕

[ Last edited by dunwan2tellu on 23-6-2005 at 06:26 PM ]

pipi

谢谢 铁蛋 与 dunwan2tellu 的解！！都跟漂亮：

铁蛋:pipi 的几何解是怎么样？

我并没有几何解。。。我所谓的＂简单方法＂与你的不相上下

]dunwan2tellu

我喜欢这个解。。。
接下去的问题，可能要用＂柯西不等式＂了，试试：


[ Last edited by pipi on 21-6-2005 at 06:22 PM ]

多普勒效应

呵呵，我也来 =P

18. generalize 到


19. generalize 到

hamilan911

11)
用AM>=HM
设       1/a + 1/b >= 4/(a+b)
         1/b + 1/c >= 4/(b+c)
         1/c + 1/d >= 4/(c+d)
最后     1/n + 1/a >= 4/(n+a)
所以   2(1/a + 1/b +1/c ......1/n)  >=4( 1/(a+b) + 1/(b+c) +1/(c+d) .....1/(n+a) )
        (1/a + 1/b +1/c ......1/n)  >=2( 1/(a+b) + 1/(b+c) +1/(c+d) .....1/(n+a) )
         证毕

dunwan2tellu

１８）用 柯西不等试
  ｛［a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2}(1+1+1)
>=(1＋１/a +1/b + 1/c)^2
>={1 + 9/(a+b+c)}^2
=100

19)也是用 柯西 不等试，
{x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)}{(y+z)+(x+z)+(x+y)}
>=(x+y+z)^2

得 原试 ＞＝（x+y+z)/2 >=3 x cuberoot(xyz) /2 =3/2

[ Last edited by dunwan2tellu on 23-6-2005 at 05:22 PM ]

pipi

做个小小呼吁：
对于提供在这里的问题，如果你有不一样的解，请与我们分享
解的长短不是问题，想法才是重要的！！

目前仍有第 16, 17 及 20 题未解...

等你呦   

请大家多多支持！！！

[ Last edited by pipi on 23-6-2005 at 11:54 AM ]

dunwan2tellu

这 次 来 试 看 看 16，17  及19( 另 类 解)

多普勒效应 于 21-6-2005 09:38 PM  说 :
呵呵，我也来 =P

18. generalize 到


19. generalize 到

没 想 到 还 可 以 通 化 到 这 地 步。 佩 服！   

[ Last edited by dunwan2tellu on 23-6-2005 at 06:33 PM ]

dunwan2tellu

试这题 ，

hamilan911

我试第20题
也用柯西不等式
[(x^3)y + (y^3)z + (z^3)x][1/xy + 1/yz + 1/xz]  >=  (x+y+z)^2
[(x^3)y + (y^3)z + (z^3)x]  >=  (x+y+z)^2 / (1/xy + 1/yz +1/xz)
                            >=  (x+y+z)(xyz)      证毕

pipi

又有新题目了（请看第 1 页， 第 1 个贴的＂解说＂）：

hamilan911

Question 22
Let f(x) = sin x
Then f''(x) = -sin x  =<  0

So by using  Jensen's Inequality
(sin A + sin B + sin C) / 3  =<  sin[( A+B+C ) / 3 ]
(sin A + sin B + sin C) / 3  =<  sin[  180 / 3  ]
(sin A + sin B + sin C)      =<  3(sin 60)
(sin A + sin B + sin C)      =<  3 (sqrt 3)  /  2

Then we get  
1  /  (sin A + sin B + sin C)>=  2  /  3  (sqrt 3)
Use GM >= HM
(1 / sinAsinBsinC)^1/3       >=  3  ( 1  / (sin A + sin B + sin C) )   
(1 / sinAsinBsinC)^1/3       >=  2  /   (sqrt 3)      
(1 / sinAsinBsinC)           >=  8  / 3 (sqrt 3)
sinAsinBsinC                 =<  3 (sqrt 3) / 8

dunwan2tellu

不 大 熟 悉 Jensen inequality ， 只 看  得 出

22)  用 f(x)=-sinx    及  f(x) = -ln sinx

23)  用f(x) = csc x   , 后 半 部 则 是 22   题 的 倒 数







[ Last edited by dunwan2tellu on 26-6-2005 at 01:07 AM ]

pipi

关于 Jensen Inequality， 中学应该算是没什么接触到。不要紧，internet 有一大堆资料，请参考：
http://planetmath.org/encyclopedia/JensensInequality.html
http://mathworld.wolfram.com/JensensInequality.html
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d194/19407.pdf （中文）
http://www.sftw.umac.mo/~fstitl/countries/formula.html （中文，附加其余 著名不等式 及 练习）

pipi

dunwan2tellu 于 23-6-2005 08:01 PM  说 :
试这题 ，

这个应该不难，只是我的做法需利用到

这个不等式在analysic 也算是个经典的问题（简单但好玩）！

dunwan2tellu，可能你还有更＂漂亮＂的解答

dunwan2tellu

pipi 于 26-6-2005 11:13 AM  说 :

这个应该不难，只是我的做法需利用到

这个不等式在analysic 也算是个经典的问题（简单但好玩）！

dunwan2tellu，可能你还有更＂漂亮 ...

其 实 我 也 是 用 同 样 的 方 法


  第 24  题 ：



第 27  题 :




还 有 没 有 较 美 的 方 法 ？

[ Last edited by dunwan2tellu on 27-6-2005 at 05:36 PM ]

pipi

对于第22题，这里有个另类的解法，有点＂神奇＂