OMK 2013

ystiang

话说自己的水平很差

mathlim前辈很厉害...

话说OMK有"参加文凭"吗？   

mathlim

ystiang 发表于 5-11-2013 09:30 PM
话说自己的水平很差

mathlim前辈很厉害...

小弟还在努力学习中！
希望对数学有兴趣的大家互相切磋交流。

OMK 有参赛证书。
现在他们寄来的证书是空白的，
必须自己添上校名和名字。
不知道是因为方便，
还是以前他们常写错被投诉！

mathlim

OLIMPIAD MATEMATIK KEBANGSAAN (OMK) 2013
KATEGORI MUDA

Section A
1. In a quadrilateral, the four sides and one of the diagonals have lengths 39, 79, 109, 199 and 299 (not necessarily in that order). Which one is the length of the diagonal?

2. Four distinct positive integers a, b, c and d satisfy a3 + b3 = 1729 = c3 + d3. Find the value of a + b + c + d.

3. A ten-digit number is written using one digit 1, two digits 2, three digits 3, and four digits 4, in any order. The number is divisible by 3k, where k is an integer. What is the greatest possible value of k?

4. Three points A, B, C are selected on a circle such that triangle ABC is equilateral. Given a point P on the minor arc AC. It is known that PA = 45 and PB = 60. What is the length of PC?

5. Find the number of integers N satisfying the following conditions:
(i) 1 ≤ N ≤ 2013.
(ii) the last digit of N99 is equal to the last digit of N.

6. Given that 20! = 2 432 902 008 176 640 000. Fing the largest integer n such that the number n! has exactly n digits.
Note: n! = 1×2×3×...×n.


Section B
1. Given a quadrilateral ABCD with perpendicular diagonals. It is known that there is a circle tangent to all sides of ABCD.
(a) Prove that AB + CD = BC + DA and AB2 + CD2 = BC2 + DA2.
(b) Prove that ABCD is a kite.

2. Let a, b and c be integers with sum 0. Prove that 2a4 + 2b4 + 2c4 is a perfect square.

3. A positive integer is said to be beautiful if it contains the string 2013 (for example, 7201356 is beautiful but 20113 is not). How many beautiful integers less than 1 000 000 000 are there?

lcd789

mathlim 发表于 4-11-2013 10:05 AM
2. Prove that there exist integers a, a, a, …, a, b, all greater than 1, such that
   (a!)(a!)(a!) ...

这一题看不是很明白啊  为什么要-1呢？大神能解释一下？

mathlim

lcd789 发表于 9-11-2013 03:41 PM
这一题看不是很明白啊  为什么要-1呢？大神能解释一下？

a! b! c! d! = e!
a = 2, b = 3, c = 4
a! b! c! = 2×6×24 = 288
d = 288 － 1 = 287
a! b! c! d! = 288×287! = 288!
e = 288

mathlim

1. In a quadrilateral, the four sides and one of the diagonals have lengths 39, 79, 109, 199 and 299 (not necessarily in that order). Which one is the length of the diagonal?

已知四边形中，四个边与其中一对角线的长分别为 39，79，109，199，299（未必按照此顺序）。问哪一个是对角线长？

四边形的四边与一对角线形成两个三角形。
已知三角的两边之和大于两一边。

若对角线是 39 或 299，39 与 299 无法形成三角形。
39 + 79 ≯ 299，39 + 109 ≯ 299，39 + 199 ≯ 299

若对角线是 79，79 与 299 无法形成三角形。
79 + 39 ≯ 299，79 + 109 ≯ 299，79 + 199 ≯ 299

若对角线是 199，199 与 39 无法形成三角形。
39 + 79 ≯ 199，39 + 109 ≯ 199，39 + 199 ≯ 299

所以其对角线长只能是 109。

mathlim

2. Four distinct positive integers a, b, c and d satisfy
   a^3 + b^3 = 1729 = c^3 + d^3.
   Find the value of a + b + c + d.

四个相异正整数 a，b，c 及 d 满足
a^3 + b^3 = 1729 = c^3 + d^3。
求 a + b + c + d 之值。

1^3 = 1
2^3 = 8
3^3 = 27

4^3 = 64

5^3 = 125

6^3 = 216

7^3 = 343

8^3 = 512

9^3 = 729

10^3 = 1000

11^3 = 1331

12^3 = 1728

12^3 + 1^3 = 1728 + 1 = 1729

10^3 + 9^3 = 1000 + 729 = 1729

∴ a + b + c + d = 1 + 9 + 10 + 12 = 32

mathlim

3. A ten-digit number is written using one digit 1, two digits 2, three digits 3, and four digits 4, in any order. The number is divisible by 3^k, where k is an integer.

   What is the greatest possible value of k?

用一个 1，两个 2，三个 3 及四个 4 任意组成一个十位数字。已知此数可以被 3^k 整除，其中 k 为整数。求 k 的最大可能之值。

1×1 + 2×2 + 3×3 + 4×4 = 30 只能被 3 整除，不能被 9 整除。
∴ k 的最大值为 1。

mathlim

4. Three points A, B, C are selected on a circle such that triangle ABC is equilateral. Given a point P on the minor arc AC. It is known that PA = 45 and PB = 60. What is the length of PC?

在圆上取任意三点 A，B，C 使得三角形 ABC 是等边三角形。在劣弧 AC 上取一点 P。已知 PA = 45 及 PB = 60。求 PC 之长。

∠APB = ∠ACB = 60°

AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2×PA×PBcos60°

         = 45^2 + 60^2 - 2×45×60×0.5

         = 2925

cos∠PAC = (PA^2 + CA^2 - PC^2)/(2×PA×CA)

cos∠PBC = (PB^2 + CB^2 - PC^2)/(2×PB×CB)

∠PAC = ∠PBC

BC = CA = AB

(PA^2 + CA^2 - PC^2)/(2×PA×CA) = (PB^2 + CB^2 - PC^2)/(2×PB×CB)

(2025 + 2925 - PC2)/(2×45×√2925) = (3600 + 2925 - PC^2)/(2×60×√2925)

PC^2 = 225

∴ PC = 15

或

∠APB = ∠ACB = 60°

AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2×PA×PBcos60°

         = 45^2 + 60^2 - 2×45×60×0.5

         = 2925

CA = AB

∠APC = 180° - ∠ABC = 120°

CA^2 = PA^2 + PC^2 - 2×PA×PCcos120°

2925 = 2025 + PC^2 - 2×45×PC×(-0.5)

PC^2 + 45PC – 900 = 0

(PC - 15)(PC + 60) = 0

∴ PC = 15

mathlim

5. Find the number of integers N satisfying the following conditions:

(i) 1 ≤ N ≤ 2013.

(ii) the last digit of N^99 is equal to the last digit of N.

求满足下列条件的整数 N 的个数：

(i) 1 ≤ N ≤ 2013。

(ii) N^99 的个位数数字与 N 的个位数数字相同。

1^n：1，1，1，1，1，1，1，1，... ...

2^n：2，4，8，6，2，4，8，6，... ...

3^n：3，9，7，1，3，9，7，1，... ...

4^n：4，6，4，6，4，6，4，6，... ...

5^n：5，5，5，5，5，5，5，5，... ...

6^n：6，6，6，6，6，6，6，6，... ...

7^n：7，9，3，1，7，9，3，1，... ...

8^n：8，4，2，6，8，4，2，6，... ...

9^n：9，1，9，1，9，1，9，1，... ...

0^n：0，0，0，0，0，0，0，0，... ...

99 = 4×24 + 3

若 N 的个位数数字为 1，4，5，6，9，0，则 N^99 的个位数数字与 N 的个位数数字相同。

∴ 满足条件的 N 有 6×201 + 1 = 1207 个。

mathlim

6. Given that

   20! = 2 432 902 008 176 640 000.

   Fing the largest integer n such that the number n! has exactly n digits.

   Note: n! = 1×2×3×...×n.

已知 20! = 2 432 902 008 176 640 000。

求 n 的最大整数值使得 n! 恰有 n 位数字。

注：n! = 1×2×3×...×n。

24! = 620 448 401 733 239 439 360 000 有 24 位数。

25! = 15 511 210 043 330 985 984 000 000 有 26 位数。

若 N ≥ 26，其位数一定大于 N。

∴ n 的最大整数值为 24。

dllTCYllb

真惭愧， 一题都不会

很多Concept 都忘记料

梁子

mathlim 发表于 13-11-2013 01:23 PM
3. A ten-digit number is written using one digit 1, two digits 2, three digits 3, and four digits 4, ...

k 的最大值为什么不可以是2 ?  3*2 = 6 , 30 可以被6 除啊。

mathlim

梁子 发表于 15-11-2013 10:50 PM
k 的最大值为什么不可以是2 ?  3*2 = 6 , 30 可以被6 除啊。

噢！题目有误！抱歉！
是3^k，不是3k。