初等数论讨论中心

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 6-3-2006 10:13 PM 发表

7^2x - 3^2y = 0
(7^x + 3^y)(7^x - 3^y) = 0
7^x + 3^y 不等于0
7^x - 3^y = 0
再拿mod 8,
经过无限梯级法，可得唯一的解就是x=1,y=1,z=1

这里怎么有一点怪？

z = 1 时的情况，我还证明不到有为一解．．．看来必须再接再厉．．

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 11-3-2006 04:56 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

题目：整数解

对于所有自然数a,b ,求出方程 x^(a+b) + y = x^a * y^b 的所有正整数解 (x,y)

dunwan2tellu

题目：奇偶分析

将一圆分为2006 个扇形，先在每个扇形内放入一粒棋子，然后开始做变换。每一次变换是将两粒棋子移入相邻扇形。请问，经过若干次变换后，能否将所有棋子移入同一个扇形？

dunwan2tellu

分析方程式题目：

请问 2006 能不能等于任何一个整系数(integer coefficient )二次方程
ax^2 + bx + c = 0 的判别式的值？

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 19-3-2006 04:18 PM 发表
分析方程式题目：

请问 2006 能不能等于任何一个整系数(integer coefficient )二次方程
ax^2 + bx + c = 0 的判别式的值？

b^2 - 4ac = 2006
左右拿mod4,
b^2 - 0 = 2
但b^2 = 0或1(mod 4)
LHS =/= RHS
所以答案是不能。

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 19-3-2006 04:29 PM 发表

b^2 - 4ac = 2006
左右拿mod4,
b^2 - 0 = 2
但b^2 = 0或1(mod 4)
LHS =/= RHS
所以答案是不能。

赞！快而准！

就来一题比较有趣的！

解方程式题目：

a + b + c + d + e = abcde

求 a,b,c,d,e 的自然数解。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 19-3-2006 04:32 PM 发表


赞！快而准！

就来一题比较有趣的！

解方程式题目：

a + b + c + d + e = abcde

求 a,b,c,d,e 的自然数解。

设a>=b>=c>=d>=e
1/a=<1/b=<1/c=<1/d=<1/e
1/bcde + 1/acde + 1/abde + 1/abce + 1/abcd =< 5/e^4
5/e^4 >= 1    e^4 =< 5    e=1
1/bcd  + 1/acd  + 1/abd  + 1/abc  + 1/abcd =< 4/d^3 + 1/d^4
(4d+1)/d^4 >= 1   d^4 =< 4d+1   d=1
1/bc + 1/ac + 1/ab + 2/abc =< 3/c^2 + 2/c^3
(3c+2)/c^3 >= 1   c^3 =< 3c+2   c=1 or 2
c=1
a + b + 3 = ab
(a-1)(b-1)=4 =1*4 ,2*2
(a,b) = (3,3) ,(5,2)
c=2
a + b + 4 = 2ab
(a,b) = (2,2)
(a,b,c,d,e) = (2,2,2,1,1) , (3,3,1,1,1) ,(5,2,1,1,1)

hamilan911

证明41整除 4^2006 + 5^2006

dunwan2tellu

你的方法不错！跟我的有些不一样。我是用 abcde=a+b+c+d+e =< 5a 所以
bcde=<5 , 然后再分 case . bcde = 1,2,3,4,5 来做。需要注意的是 a,b,c,d,e
总共有 40 副答案，而不是 3 副

至于 4^2006 + 5^2006 ,我们注意到 4^2 + 5^2 = 41 , 再运用

a^n + b^n = ( a + b )(a^{n-1} -a^{n-2}b + .. + b^{n-1}) for odd n .就可以证明到了。

dunwan2tellu

求整数解：

求所有的整数解 x,y 使到

(x+y)/(x^2 -xy + y^2) = 3/7 成立。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 25-3-2006 02:25 PM 发表
求整数解：

求所有的整数解 x,y 使到

(x+y)/(x^2 -xy + y^2) = 3/7 成立。

(x+y)^2 /(x^3 + y^3) = 3/7
7(x+y)^2 = 3(x^3+y^3)
显然(x+y)^2 = 0(mod3)   -> x+y = 0(mod3)   
x^3 + y^3 = 0(mod 7)   
由于任何整数的三次方 = 0，1或-1(mod7)
(若x^3,y^3 = 0(mod7),x+y=2(mod3))
所以 x^3,y^3必为 1,-1(mod7)  -> x,y = 1,0(mod2)
当x=4, y=5时，等式成立。
注意到RHS是三次方，LHS是二次方，当x,y增加，ＲＨＳ＞ＬＨＳ
故（４，５）是唯一的解。

dunwan2tellu

有一些问题...

求证 2005^2005 不可能是两个立方数的和。（即 a^3 + b^3 = 2005^2005无解）

dunwan2tellu

原帖由 dunwan2tellu 于 27-3-2006 07:13 PM 发表
有一些问题...

求证 2005^2005 不可能是两个立方数的和。（即 a^3 + b^3 = 2005^2005无解）

提示：考虑 mod 7

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 1-4-2006 11:09 AM 发表


提示：考虑 mod 7

任何立方数 = 0,1,-1 (mod 7)
2005^2005 = 3^2005 = (3^3)^668*3 = (-1)^668*3 = 3(mod 7)
但两个立方数的和只能是-2,-1,0，1，2（mod 7)
证毕。

[ 本帖最后由 hamilan911 于 1-4-2006 03:56 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

两个立方数的mod 7 和也可以是

0 + (-1) = -1
-1 + (-1) = -2

dunwan2tellu

整除问题：

试求出所有的自然数解，使到

n/3 + n^2/2 + n^3/6 是整数。

kee020041

我不会数轮，但是我用这个方法解这个：

n/3 + n^2/2 + n^3/6  = 2n/6 + 3n^2/6 + n^3/6
                     = (2n + 3n^2 + n^3)/ 6
                     = (n)(n^2+3n+2)/6
                     = (n)(n+1)(n+2)/6

(n)(n+1)(n+2) = 3各连续号码相乘，所以其中一定有一个2的倍数和3的倍数！

所以n/3 + n^2/2 + n^3/6 =整数 ，n=1,2,3,4.....................

dunwan2tellu

原帖由 kee020041 于 1-4-2006 01:15 PM 发表
我不会数轮，但是我用这个方法解这个：

n/3 + n^2/2 + n^3/6  = 2n/6 + 3n^2/6 + n^3/6
                     = (2n + 3n^2 + n^3)/ 6
                     = (n)(n^2+3n+2)/6
                     = (n ...

是的！我的解法也和你一样！

试试这题整除问题吧！

对于所有的自然数 n 证明 ,

2450^n - 1370^n + 1150^n -250^n 可以被 1980 整除。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 1-4-2006 02:59 PM 发表


是的！我的解法也和你一样！

试试这题整除问题吧！

对于所有的自然数 n 证明 ,

2450^n - 1370^n + 1150^n -250^n 可以被 1980 整除。

显然2450^n - 1370^n + 1150^n -250^n可以被5整除。
2450^n - 1370^n + 1150^n - 250^n = 0(mod5)
2450^n - 1370^n + 1150^n - 250^n = 2^n - 2^n + 2^n - 2^n = 0(mod4)
2450^n - 1370^n + 1150^n - 250^n = 2^n - 2^n + 7^n - 7^n = 0(mod9)
2450^n - 1370^n + 1150^n - 250^n = 8^n - 5^n + 5^n - 8^n = 0(mod11)
故2450^n - 1370^n + 1150^n - 250^n = 0(mod1980)

dunwan2tellu

hamilan911 , 对了！另一种方法是用

a-b|a^n - b^n

的 identity 来证明。

Ex : 180|(2450^n - 1370^n) + (1150^n -250^n)
      11|(2450^n-250^n) - (1370^n-1150^n)