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楼主: dunwan2tellu

代数:来玩玩吧

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 楼主| 发表于 13-2-2006 03:23 PM | 显示全部楼层
哈哈。灰羊。厉害!一来就大显身手了。
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发表于 13-2-2006 06:28 PM | 显示全部楼层
提供一題代數相關

y^2=4ax
x^2+y^2=r^2
有四個交點
設該四點為y^2=4ax上參數點(at^2,2at),
對應參數為t1,t2,t3,t4,
求t1+t2+t3+t4=?
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 楼主| 发表于 14-2-2006 07:22 PM | 显示全部楼层
原帖由 灰羊 于 13-2-2006 06:28 PM 发表
提供一題代數相關

y^2=4ax
x^2+y^2=r^2
有四個交點
設該四點為y^2=4ax上參數點(at^2,2at),
對應參數為t1,t2,t3,t4,
求t1+t2+t3+t4=?


违达定理。

a^2t^4 +4a^2t^2 - r^2 = 0

t1+t2+t3+t4 = 0
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发表于 15-2-2006 01:35 AM | 显示全部楼层
寫好一點啦.........
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 楼主| 发表于 16-2-2006 06:03 PM | 显示全部楼层
题目:求值问题

已知 m + n + mn = 71 , mn^2 + m^2n = 880 , 且 m,n 都是正整数。求

m^2 + n^2 = ?
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 楼主| 发表于 16-2-2006 06:26 PM | 显示全部楼层
关于韦达定理的题目:

一个多项式定义为 P(x) = (1-x)(1+2x)(1-3x)...(1-19x)(1+20x) 展开后的 x^2 的系数(coefficient)是多少?
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发表于 16-2-2006 11:50 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 16-2-2006 06:03 PM 发表
题目:求值问题

已知 m + n + mn = 71 , mn^2 + m^2n = 880 , 且 m,n 都是正整数。求

m^2 + n^2 = ?


m + n + mn = 71
(m + n) + mn = 71

mn^2 + m^2n = 880
(m + n)mn=880

則m+n,mn為方程式t^2 - 71t + 880 = 0的根
t^2 - 71t + 880 = 0
(t-16)(t-55)=0

若(m + n)=16,mn=55
則m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn
            = 146

若(m + n)=55,mn=16
則m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn
            = 2993
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发表于 16-2-2006 11:57 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 16-2-2006 06:26 PM 发表
关于韦达定理的题目:

一个多项式定义为 P(x) = (1-x)(1+2x)(1-3x)...(1-19x)(1+20x) 展开后的 x^2 的系数(coefficient)是多少?


設 x^2 的系数 = k

k/[(1)(-1/2)(1/3)...(1/19)(-1/20)]=1/(1) + 1/(-1/2) + ... + 1/(-1/20)
20!*k = 1-2+3-4+...+19-20
20!*k = -10
k=-10/20!
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 楼主| 发表于 17-2-2006 02:24 PM | 显示全部楼层
原帖由 灰羊 于 16-2-2006 11:50 PM 发表


m + n + mn = 71
(m + n) + mn = 71

mn^2 + m^2n = 880
(m + n)mn=880

則m+n,mn為方程式t^2 - 71t + 880 = 0的根
t^2 - 71t + 880 = 0
(t-16)(t-55)=0

若(m + n)=16,mn=55
則m^2 + n^2 = (m +  ...


有一点小错误。注意到 m,n 都是正整数
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 楼主| 发表于 17-2-2006 02:27 PM | 显示全部楼层
原帖由 灰羊 于 16-2-2006 11:57 PM 发表


設 x^2 的系数 = k

k/[(1)(-1/2)(1/3)...(1/19)(-1/20)]=1/(1) + 1/(-1/2) + ... + 1/(-1/20)
20!*k = 1-2+3-4+...+19-20
20!*k = -10
k=-10/20!


不是很清楚你的做法,不过肯定有误。因为注意到 k 必定是整数而 -10/20! 不是整数。
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发表于 19-2-2006 03:12 AM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 17-2-2006 02:24 PM 发表


有一点小错误。注意到 m,n 都是正整数

應該是
若(m + n)=55,mn=16
則m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn
            = 2993
這段吧.....
mn > m+n
if m,n > 2
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发表于 19-2-2006 03:27 AM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 16-2-2006 06:26 PM 发表
关于韦达定理的题目:

一个多项式定义为 P(x) = (1-x)(1+2x)(1-3x)...(1-19x)(1+20x) 展开后的 x^2 的系数(coefficient)是多少?


解p(x)=0有根1,-1/2,1/3,-1/4,...,-1/20
=>
p(x)的x^2的係數=(根積)(根的倒數和)*(x的係數積)
因為(x的係數積)=(根積)
=>p(x)的x^2的係數=(根的倒數和)
                 =-10
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发表于 19-2-2006 03:28 AM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 17-2-2006 02:27 PM 发表


不是很清楚你的做法,不过肯定有误。因为注意到 k 必定是整数而 -10/20! 不是整数。

忘了x^20的係數
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 楼主| 发表于 19-2-2006 04:44 PM | 显示全部楼层
原帖由 灰羊 于 19-2-2006 03:12 AM 发表

應該是
若(m + n)=55,mn=16
則m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn
            = 2993
這段吧.....
mn > m+n
if m,n > 2


如果 m+n=55 , mn=16 , 请问你会得到整数解 m,n吗?
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 楼主| 发表于 19-2-2006 04:52 PM | 显示全部楼层
原帖由 灰羊 于 19-2-2006 03:27 AM 发表


解p(x)=0有根1,-1/2,1/3,-1/4,...,-1/20
=>
p(x)的x^2的係數=(根積)(根的倒數和)*(x的係數積)
因為(x的係數積)=(根積)
=>p(x)的x^2的係數=(根的倒數和)
                 =-10


还是不大清楚。不过可以告诉你 -10 是 x 的系数 ,并非 x^2 的系数。
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发表于 19-2-2006 09:29 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 19-2-2006 04:52 PM 发表


还是不大清楚。不过可以告诉你 -10 是 x 的系数 ,并非 x^2 的系数。

哎呀!!又忘記常數那邊還有一項!!!
妳的展開式太長啦!!!!!!!!!!!!!!!

解p(x)=0有根1,-1/2,1/3,-1/4,...,-1/20
=>
p(x)的x^2的係數=(根積)(兩兩根積倒數和)*(x^20的係數)
因為 (根積)*(x^20的係數)=1
所以 p(x)=兩兩根積倒數和
         
erm...(兩兩根積倒數和)有C(20,2)項喔...
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 楼主| 发表于 20-2-2006 07:07 AM | 显示全部楼层
原帖由 灰羊 于 19-2-2006 09:29 PM 发表

哎呀!!又忘記常數那邊還有一項!!!
妳的展開式太長啦!!!!!!!!!!!!!!!

解p(x)=0有根1,-1/2,1/3,-1/4,...,-1/20
=>
p(x)的x^2的係數=(根積)(兩兩根積倒數和)*(x^20的係數)
因為 (根積)*(x^20的係數)=1
...


其实这题有一个小技巧。设 x = 1/y 后,题目等于找 y^18 的系数.
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 楼主| 发表于 21-2-2006 07:10 PM | 显示全部楼层
怎么没有继续做的?

再来一题!应该属于代数吧?

已知 f(x) = 4^x/(4^x + 2) , f:R->R^+ .
求 f(1/2006) + f(2/2006) + ... + f(2005/2006)
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发表于 21-2-2006 08:35 PM | 显示全部楼层
设x=1/y
P(x) = (1-1/y)(1+2/y)(1-3/y)...(1-19/y)(1+20/y)
     = (y-1)(y+2)(y-3)...(y-19)(y+20)/y^20
所以x^2 的系数也等于y^18的系数
y^18的系数=[(1-2+3-4+5-6...+19-20)^2 - (1^2+(-2)^2+3^2...(-20)^2)]/2
          =[(-10)^2 - ((20)(21)(41)/6)]/2
          = (100-2870)/2
          = -1385
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 楼主| 发表于 21-2-2006 08:52 PM | 显示全部楼层
原帖由 hamilan911 于 21-2-2006 08:35 PM 发表
设x=1/y
P(x) = (1-1/y)(1+2/y)(1-3/y)...(1-19/y)(1+20/y)
     = (y-1)(y+2)(y-3)...(y-19)(y+20)/y^20
所以x^2 的系数也等于y^18的系数
y^18的系数=[(1-2+3-4+5-6...+19-20)^2 - (1^2+(-2)^2+3^2...(-20) ...


试试看下一题吧!(上面的贴)
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