代数：来玩玩吧

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 19-3-2006 04:22 PM 发表
二元二次方程之判别式的运用：

已知 x,y为实数，且 x^2 + y^2 + 2xy + x - y = 0 , 求证

x =< 1/8 , y>= -1/8

x^2 + x(1+2y) + y^2 - y = 0
b^2 - 4ac >= 0
(1+2y)^2 - 4(y^2-y) >= 0
8y + 1 >= 0
y >= -1/8

y^2 + y(2x-1) + x^2 + x = 0
(2x-1)^2 - 4(x^2+x) >= 0
1 - 8x >= 0
x =< 1/8

[ 本帖最后由 hamilan911 于 19-3-2006 05:05 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

函数题目：

已知 f(x) = x^3 - 6x^2 + 17x 和 f(a) = 16 , f(b) = 20 . 求 a + b = ?

dunwan2tellu

组合代数题目：

a,b,c,d为正整数，且 a<b<c<d .已知 a+d = b+c 和 bc - ad = 93 . 请问有几个正整数解 (a,b,c,d),符合以上的条件？

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 23-3-2006 06:22 PM 发表
函数题目：

已知 f(x) = x^3 - 6x^2 + 17x 和 f(a) = 16 , f(b) = 20 . 求 a + b = ?

a^3 - 6a^2 + 17a - 18 = -2
b^3 - 6b^2 + 17b - 18 = 2
(a-2)(a^2 - 4a + 9) = -2   -> a-2 = -2/(a^2 - 4a + 9)   (1)
(b-2)(b^2 - 4b + 9) = 2    -> b-2 =  2/(b^2 - 4b + 9)   (2)
(1)+(2)
a + b- 4 = 0
a + b = 4

dunwan2tellu

解方程组：

a^2005 = b + b^2005
b^2005 = c + c^2005
c^2005 = d + d^2005
d^2005 = a + a^2005

求a,b,c,d 的实数解。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 28-3-2006 06:30 PM 发表
解方程组：

a^2005 = b + b^2005
b^2005 = c + c^2005
c^2005 = d + d^2005
d^2005 = a + a^2005

求a,b,c,d 的实数解。

把全部等式加起来
得 a+b+c+d = 0
分析
A正，B、C、D均为正
A负, B、C、D均为负
但a+b+c+d =0
所以（a,b,c,d）= （0，0，0，0）

[ 本帖最后由 hamilan911 于 28-3-2006 11:01 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

哈哈。Hamilan911,你怎么把“唯一”的一幅答案也吃掉了呢

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 28-3-2006 10:59 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

这次对了！再来！

函数题目：

求所有的函数 f:R->R ，f(x)f(y) - f(xy) = x+y .

通常这类题目都是现带入x=0 或1 或其他只要符合"实数”定义的号码来求f(0) ,f(1) 之类的，后在推论出 f(x)=?

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 1-4-2006 11:17 AM 发表
这次对了！再来！

函数题目：

求所有的函数 f:R->R ，f(x)f(y) - f(xy) = x+y .

通常这类题目都是现带入x=0 或1 或其他只要符合"实数”定义的号码来求f(0) ,f(1) 之类的，后在推论出 f(x)=?

我来试试。。
x=y=0
f(0)f(0) - f(0) = 0  -> f(0) = [f(0)]^2
x=0,y=1
f(0)f(1) - f(0) = 1  -> f(0)f(1) - [f(0)]^2 = 1
f(0)(f(1) - f(0)) = 1
f(0)(f(1) - 1 ) = 1
得f(0) = 1
1(f(1) - 1) = 1
f(1) - 1 = 1
f(1) = 2
x=2,y=0
f(2)f(0) - f(0) = 2
f(0)(f(2) - 1)  = 2
f(2) - 1 = 2
f(2) = 3
所以f(x) = x+1

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 1-4-2006 11:44 AM 发表

我来试试。。
x=y=0
f(0)f(0) - f(0) = 0  -> f(0) = [f(0)]^2
x=0,y=1
f(0)f(1) - f(0) = 1  -> f(0)f(1) - [f(0)]^2 = 1
f(0)(f(1) - f(0)) = 1
f(0)(f(1) - 1 ) = 1
得f(0) = 1
1(f(1) - 1) = ...

答案是 f(x)=x+1 没错。不过你并没有完整show 出来。因为最后你得到 f(0)=1,f(1)=2 , f(2)=3 , 可是并不一定 f(3)=4 ...

其实只要稍微修改就可以得到了

设 y=0 则

f(0)[f(x)-1] = x ==> f(x)=x+1 (因为 f(0)= 1)

再来一题。

求函数 f:R->R , f(x+y)=f(x)*f(y)*f(xy)

kee020041

我得到 f(x)=1,对吗？

dunwan2tellu

原帖由 kee020041 于 1-4-2006 11:20 PM 发表
我得到 f(x)=1,对吗？

这是其中一副答案。总共有 3 副 。

kee020041

哈哈，在回答时做错，但发现f(x)=1符合问题条件。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 1-4-2006 12:47 PM 发表


答案是 f(x)=x+1 没错。不过你并没有完整show 出来。因为最后你得到 f(0)=1,f(1)=2 , f(2)=3 , 可是并不一定 f(3)=4 ...

其实只要稍微修改就可以得到了

设 y=0 则

f(0)[f(x)-1] = x ==> f(x)=x+ ...

x=y=0
f(0) = [f(0)]^3
f(0){[f(0)]^2 - 1} = 0
得f(0) = 0,1,-1
x=-1, y=1
f(0) = f(1)[f(-1)]^2   -(1)
x=y=-1
f(-2) = f(1)[f(-1)]^2
得f(0) = f(-2)
x=1,y=0
f(1)  = f(1)[f(0)]^2
x=1,y=-2
f(-1) = f(1)[f(-2)]^2
得f(1) = f(-1)
带入（1）
f(0) = [f(-1)]^3
所以 f(-1) = f(1)= 0,1,-1
f(x) =0,1,-1

[ 本帖最后由 hamilan911 于 2-4-2006 04:30 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

告诉你 hamilan911 , 这题就是 OMK 2005 Sulong 的题目！

这题确实是constant function . 没错答案是 f(x) = -1,0,1 .

只是我不明白你的最后一句

y=0
f(x) = f(x)[f(0)]^2
f(x) =0,1,-1

如何能从这里看得出 f(x) = -1,0,1 呢？

dunwan2tellu

证明恒等式：

(ab + ac + bc -1)^2 + (a + b + c - abc)^2 = (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)

**是否除了 expand out 就没办法证明呢？还是另有乾坤？

dunwan2tellu

若 p,q,r 为方程式 x^3 - x - 1 = 0 的实数解。求

(1+p)/(1-p) + (1+q)/(1-q) + (1+r)/(1-r)

的值。

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 12-4-2006 09:12 PM 发表
若 p,q,r 为方程式 x^3 - x - 1 = 0 的实数解。求

(1+p)/(1-p) + (1+q)/(1-q) + (1+r)/(1-r)

的值。

x^3 - x - 1 = 0
从韦达定理可得
p+q+r = 0  , pq+qr+rp= -1 , pqr = 1
设x=1,(1-p)(1-q)(1-r) = 1^3 - 1 - 1 = -1
(1+p)/(1-p) + (1+q)/(1-q) + (1+r)/(1-r)  = k
(1+p)/(1-p) + 1 + (1+q)/(1-q) + 1 + (1+r)/(1-r) + 1 = k + 3
k = 2/(1-p) + 2/(1-q) + 2/(1-r) - 3
  = 2[3-2(p+q+r)+(pq+qr+rp)]/(1-p)(1-q)(1-q) - 3
  = 2(3-0-1)/(-1) - 3
  = -4-3
  = -7

dunwan2tellu

原帖由 hamilan911 于 13-4-2006 05:13 PM 发表

x^3 - x - 1 = 0
从韦达定理可得
p+q+r = 0  , pq+qr+rp= -1 , pqr = 1
设x=1,(1-p)(1-q)(1-r) = 1^3 - 1 - 1 = -1
(1+p)/(1-p) + (1+q)/(1-q) + (1+r)/(1-r)  = k
(1+p)/(1-p) + 1 + (1+q)/(1-q) + 1 + ( ...

好方法！

那么这题又如何？

题目：

若 a + b + c = 0 .求

( a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) )( (b-c)/a + (c-a)/b + (a-b)/c ) = ?

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 13-4-2006 07:21 PM 编辑 ]

hamilan911

原帖由 dunwan2tellu 于 13-4-2006 06:16 PM 发表


好方法！

那么这题又如何？

题目：

若 a + b + c = 0 .求

( a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) )( (b-c)/a + (c-a)/b + (a-b)/c ) = ?

a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) = sum(-a^3+a^2b+a^2c-abc)/(a-b)(b-c)(c-a)
但a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)
a+b+c = 0
所以a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
a^2b + a^2c = a^2(b+c) = -a^3
a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) = -9abc/(a-b)(b-c)(c-a)
(b-c)/a + (c-a)/b + (a-b)/c = sum(b^2c - bc^2)/abc = -(a-b)(b-c)(c-a)/abc
所以( a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) )( (b-c)/a + (c-a)/b + (a-b)/c )
   =-9abc/(a-b)(b-c)(c-a) * -(a-b)(b-c)(c-a)/abc
   = 9