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楼主: QooLuo

STPM 数学练习题

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 楼主| 发表于 13-8-2005 08:22 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 13-8-2005 02:50 PM 发表
5)


为什么要用 2S 来做呢??
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发表于 13-8-2005 08:48 PM | 显示全部楼层
因为我乘上他的common ratio (beza sepunya dalam JG).你试试将他们展开就会看到

S=2+3.2+4.2^2+5.2^3+6.2^4+...+(n+1).2^(n-1)
2S= 2.2+3.2^2+4.2^3+5.2^4+...+ n.2^(n-1) +(n+1).2^n

之后用2S-S
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发表于 13-8-2005 09:34 PM | 显示全部楼层
第5题:
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发表于 13-8-2005 11:26 PM | 显示全部楼层
第6题原来是GCE A level的历届考题

第4题是用method of difference...
你把 f(r) - f(r+1)写出来后,利用这个来回答后部分的问题
然后就很容易了
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 楼主| 发表于 23-8-2005 09:43 PM | 显示全部楼层
其他的没有人会吗??
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发表于 23-8-2005 11:44 PM | 显示全部楼层
2.Prove the following identities, for any sets A, B and C.
(a)AU (B∩C) = (AUB) ∩ (AUC)
(b)(A U B) ∩ (BUC) ∩ (CUA) = (A∩B) U (A∩C) U (B∩C)
(c)A ∩ (B - C) = (A∩B) – (A∩C)
(d)(A – C) ∩ (B –C) = (A∩B) – C
(e)(A – B) U B = A if and only if  B is a proper subset of A


2a) 用de Morgan's laws就可以

b)先将b)变化再用a)的result来做

(A U B) ∩ (BUC) ∩ (CUA)=(A U B)∩(BUC)∩(BUC)∩(CUA)
=[(A U B)∩(BUC)]∩[(BUC)∩(CUA)]
=[BU(A∩C)]∩[CU(A∩B)]
=(B∩C)U(B∩A∩B)U(A∩C∩C)U(A∩C∩A∩B) <---de morgan law
=(B∩C)U(A∩B)U(A∩C) <---law of absorption

c)用A-B=A∩B'来做
RHS=(A∩B)-(A∩C)=(A∩B)∩(A∩C)'=(A∩B)∩(A'U C')
=B∩[A∩(A'U C')]=B∩(A∩C')=A∩(B∩C')=A∩(B-C)=LHS

d)LHS=(A∩C')∩(B∩C')=(A∩B)∩(C'∩C')=(A∩B)∩C'
=(A∩B)-C

e)若 B 是 A 的子集(subset) 就会得到 A U B=A 和 A∩B=B

LHS=(A∩B')U B=(AUB)∩(BUB')=(AUB)∩(E)  <-- E=semester set
=AUB=A (从上面)
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发表于 2-9-2005 05:34 PM | 显示全部楼层
帮忙一下。。。

2^2x + 64(2^-x) = 32,, 除了x=2 , 求另一个x
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发表于 2-9-2005 05:50 PM | 显示全部楼层
2^2x + 64(2^-x) = 32,, 除了x=2 , 求另一个x


设2^x = a 那么

a^2 + 64/a =32 --> a^3- 32a + 64=0

已知a=4是其中一副答案,这表示上面的polynomial可以factorise 成 (a-4)(a^2-4a+16)=0  

所以 quadratic equation 得
a = 2+sqrt{20} =6.472 (只那正号的因为a=2^x >0 )

2^x = 6.472 <---用 log 就可以找到另一个x了。
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发表于 3-9-2005 12:41 AM | 显示全部楼层
谢了!可是你把+ - 放反了。
factorise过后是(a-4)(a^2+4a-16)
a>0
a=2.47
2^x=2.47213595
x = 1.31

下次再请教你!
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发表于 20-9-2005 04:59 PM | 显示全部楼层
又有问题要麻烦大家了!
find the set of values of x such that x < 1/x < 2
我找到的答案是:(2^.5)/2,-(2^.5)/2,1/4 & 0,可是我不知道该选哪两个作为set of values of x,我该如何选呢??

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,where a,b,c,d are real numbers.1-2i and -2 are 2zeros of f(x)and f(-1)=-8,find the values of a,b,c,d.
我只知道我已经题目已经给了所有的根既:x=1-2i,1+2i,-2
可是我仍然做不到答案....
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发表于 21-9-2005 01:20 AM | 显示全部楼层
find the set of values of x such that x < 1/x < 2
我找到的答案是:(2^.5)/2,-(2^.5)/2,1/4 & 0,可是我不知道该选哪两个作为set of values of x,我该如何选呢??


解x<1/x 得 x<-1 , 0<x<1 -----(i)
解1/x<2 得 x<0 , x>1/2 ------(ii)

(i),(ii) 的intersect 得 {x:x<-1}U{x:1/2<x<1}  

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,where a,b,c,d are real numbers.1-2i and -2 are 2zeros of f(x)and f(-1)=-8,find the values of a,b,c,d.
我只知道我已经题目已经给了所有的根既:x=1-2i,1+2i,-2
可是我仍然做不到答案....


已知 x=1-2i是其中一个解,那么

x-1=-2i , squaring both side --> x^2-2x+1=-4-->x^2-2x+5=0

意味着f(x)可以被x^2-2x+5 divide(因为x=1-2i是f(x)的解) .我们也知道x=-2是他的解,或x+2是f(x)的factor.综合上面两个得

f(x)=a(x^2-2x+5)(x+2)   <--- (加 a 在前面表示x^3的系数是 a )

又知道f(-1)=-8 , 带入就可以找到 a = -1. 再来你只需要expand出来然后comparing coefficient就可以找到b,c,d了。
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发表于 24-9-2005 03:13 PM | 显示全部楼层
原帖由 dunwan2tellu 于 21-9-2005 01:20 AM 发表


解x<1/x 得 x<-1 , 0<x<1 -----(i)
解1/x<2 得 x<0 , x>1/2 ------(ii)

(i),(ii) 的intersect 得 {x:x<-1}U{x:1/2<x<1}  



已知 x=1-2i是其中一个解,那么

x-1=- ...



有点疑惑...从问题上所的提示,我们已经知道了f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的factor了吗??为何要多加a进去呢??

我又有些inequalities不会....
solve the inequalities
a) 1/(x+1)<1/|x+2|
b) 1/|x+1|<1/|x+2|
b)我想到square both side,但是我得当两个答案,而答案却只有一个而已...
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发表于 24-9-2005 06:17 PM | 显示全部楼层
有点疑惑...从问题上所的提示,我们已经知道了f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的factor了吗??为何要多加a进去呢??


因为 a 正是 x^3 的 coeeficient

我又有些inequalities不会....
solve the inequalities
a) 1/(x+1)<1/|x+2|
b) 1/|x+1|<1/|x+2|
b)我想到square both side,但是我得当两个答案,而答案却只有一个而已...

a)分case 做 , 当x+2>0 既 x>-2 时
  1/(x+1)<1/(x+2) --> 1/(x+1)(x+2)<0 ---> -2<x<-1
由于符合x>-2的条件故 -2<x<-1 -----(i)

当x+2<0 既 x<-2时
1/(x+1)<1/(-x-2) --->(2x+3)/(x+1)(x+2)<0
---> x<-2 , -3/2<x<-1  . 但是 x<-2 因此 只可以取
x<-2 ----(ii)

从 (i) 和 (ii) 得 {x:x<-2}U{x:-2<x<-1}

b)reciprocal 得 |x+1|>|x+2| .squaring both side

x^2+2x+1>x^2+4x+4 ---> 2x < -3  ---> x<-3/2
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 楼主| 发表于 7-10-2005 09:10 PM | 显示全部楼层
请帮我解答。。
1. Express (X^3  - 1)/(x + 1)(x – 2 )  in the form of
   partial fraction.

2. Differenciate with respect to x
   y = ln [(2 - x^2)/(1 + x)]
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发表于 7-10-2005 09:25 PM | 显示全部楼层
1. Express (X^3  - 1)/(x + 1)(x – 2 )  in the form of
   partial fraction.

2. Differenciate with respect to x
   y = ln [(2 - x^2)/(1 + x)]


1)用long division 先 因为分母的degree比分子大

所以得到 x+1 + (3x+1)/ (x+1)(x-2)

之后的partial fraction 应该不难了吧 ...

2) y = ln(2-x^2) - ln(1+x)

dy/dx = -2x /(2-x^2)  -  1/(1+x)
= (x^2+2x+2) / (x^2-2)(x+1)
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 楼主| 发表于 8-10-2005 03:00 PM | 显示全部楼层
谢谢。。
原来要用log。。我一直都没想到,结果就酱丢了3分。。
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发表于 10-10-2005 04:34 PM | 显示全部楼层
average 45 out of 1000 pots contain cracks.
find the probability that at most 2 pots from a sample of 5 pots will have cracks.
the probability of a pots 是否是45/1000???如果是的话,我做到的答案是0.99多,觉得有点不大对劲。

the guarantee by a retailer ensures that a faulty TV tube is replaced within the first year of purchase,the probability distribution of the life of the tube can be modelled by

f(x)=A/(x^4) for 1 < x  < infinity,f(x)=0 for x <1 ,where x is the lifetime in years
我做到A是2/3
show that,if a tube has lasted for n years,the probability that it will fail during the next year is 1-[n/(n+1)^3]
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发表于 10-10-2005 05:33 PM | 显示全部楼层
average 45 out of 1000 pots contain cracks.
find the probability that at most 2 pots from a sample of 5 pots will have cracks.
the probability of a pots 是否是45/1000???如果是的话,我做到的答案是0.99多,觉得有点不大对劲。


Binomial Distribution , B(5,0.045)

P(X) = probability having crack pot

P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = 0.7944 + 0.1872 +0.0176 = 0.9992
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发表于 12-10-2005 11:35 AM | 显示全部楼层
intergrate and find the value of [|sin x|+sin|x|]dx ,它的interval 是在180至-180之间。在sin|x|里,我intergrate了就是cos|x|然后我放的value只能是180而已,对吗?

然后还有一题
if A is a 3x3matrix such that a(i)=1 & a(j)=0 for i=j,where a(ij)is the entry in the i row and j column,prove that |A|=2
我不明白问题问什么。
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发表于 12-10-2005 03:59 PM | 显示全部楼层
intergrate and find the value of [|sin x|+sin|x|]dx ,它的interval 是在180至-180之间。在sin|x|里,我intergrate了就是cos|x|然后我放的value只能是180而已,对吗?


需要分case做 . O到180时 ,integrate [sin x + sin x] ,
-180到0时,integrate [-sin x + sin(-x)]  
之后两个加起来。
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