STPM 数学练习题

QooLuo

呵呵。。 不是 STPM 的题目啦。。
是我弟弟问我，我忘了怎么做了。。

末世战神

最后一题的答案是什么？

dunwan2tellu

原帖由 末世战神 于 8-1-2006 12:17 AM 发表
最后一题的答案是什么？

最后一题不是有答案了吗？2小时55分钟....除非你不是指这题....

QooLuo

请教我解这一题
integrate 1/sin x

Scoutfai

原帖由 QooLuo 于 25-5-2006 11:02 PM 发表
请教我解这一题
integrate 1/sin x

幸运的这题我会。
因为
d/dx (cot x) = - cosec^2 x
d/dx (cosec x) = - (cot x)(cosec x)
所以(注：int 是积分符号）
int (1/sin x) dx = int (cosec x) dx
= int [ (cosec x)(cot x - cosec x)／（cot x - cosec x)] dx
= int [ {(cosec x)(cot x)- cosec^2 x}/(cot x - cosec x)] dx
= ln | cot x - cosec x| + c   where c is a constant.

QooLuo

那
integrate 1/cos x  应该怎么做？

bomber27

做法和∫1/sin x dx 一样

d/dx(tan x) = sec^2 x
d/dx(sec x) = tan x sec x
∫sec x dx  = ∫[sec x(sec x + tan x)]/(sec x + tan x) dx
            = ∫(sec^2 x + tan x sec x)/(sec x + tan x) dx
            = ln|sec x + tan x| + c

dunwan2tellu

上面那一招绝（也是最快）！不过要“看到”并不容易。
如果不要用上面那招，也可以试试

第１招
1/sin x = sin x / (1-cos^2 x) = sin x/(1+cos x)(1-cos x)
= 1/2 * sin x [ 1/(1+cos x) + 1/(1-cos x)]

Then integrate  int[sin x/(1+cos x) dx] , int[sin x/(1-cos x) dx] respectively .

第２招
再不然你也可以试试 method of substitution . i.e let y = cos x ==> dy = - sin x dx

==> int[1/sin x] = int[1/(y^2-1) dy] = ....

第３招
或着另一个方法（也是method of substitution)

Let tan x/2 = t  ==> sin x = 2t/(t^2 + 1) , 1/2* sec^2 x/2 dx = dt <==> 1/2*(1+tan^2 x/2) dx = dt
<==> 1/2 * (1+t^2) dx = dt

--> int(1/sin x) = int( (t^2+1)/(2t) * 2/(t^2+1) dt ) = int(1/t dt) = ln t = ln(tan x/2) + C

通常遇到　trigo integration ,这　３　招都不错。


练习：
试试找　int[ 1/(1+sin x) dx ]



[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 26-5-2006 03:20 PM 编辑 ]

Scoutfai

试试找　int[ 1/(1+sin x) dx ]

∫ 1/(1 + sin x) dx = ∫(1- sin x)/[(1+ sin x)(1- sin x)] dx
=∫ (1-sin x)/ cos^2 x dx
=∫ sec^2 x dx - ∫(tan x)(sex x) dx
= tan x - sec x + c , where c is a constant.

dunwan2tellu

原帖由 Scoutfai 于 26-5-2006 04:26 PM 发表

∫ 1/(1 + sin x) dx = ∫(1- sin x)/ dx
=∫ (1-sin x)/ cos^2 x dx
=∫ sec^2 x dx - ∫(tan x)(sex x) dx
= tan x - sec x + c , where c is a constant.

对了！Ｓｃｏｕｔｆａｉ网友。也可以试试其他招数。

我记得我以前曾经贴上来一题比较难的积分题目，问题如下

Int[ x^2/((x sin x + cos x)^2) dx ]

不知道有没有人能找出解答呢？（当然必须设 x sin x + cos x =/= 0)

QooLuo

原帖由 Scoutfai 于 26-5-2006 04:26 PM 发表

∫ 1/(1 + sin x) dx = ∫(1- sin x)/ dx
=∫ (1-sin x)/ cos^2 x dx
=∫ sec^2 x dx - ∫(tan x)(sex x) dx
= tan x - sec x + c , where c is a constant.

Scoutfai 网友， 你变得太快了。 我看不明白。。

bomber27

原帖由 QooLuo 于 27-5-2006 09:33 PM 发表



Scoutfai 网友， 你变得太快了。 我看不明白。。

Scoutfai

Scoutfai 网友， 你变得太快了。 我看不明白。。

抱歉，但相信ｂｏｍｂｅｒ２７的答复会解决了你的疑问。

对了！Ｓｃｏｕｔｆａｉ网友。也可以试试其他招数。

哈哈我懒惰试了，通常找到了简洁的方式我都会停此。
但印象中用 ｔａｎｘ/2 ＝ｔ 的方法应该行的通。

我记得我以前曾经贴上来一题比较难的积分题目，问题如下

Int[ x^2/((x sin x + cos x)^2) dx ]

不知道有没有人能找出解答呢？（当然必须设 x sin x + cos x =/= 0)  

这题被你问倒了，到目前为此还是没有头绪。
有没有答案的先，不然深怕会白忙一场。毕竟有些式子是积分不到的。

dunwan2tellu

有答案的。绝对是 elementary function 来的。
只是我本身也没有任何直接求出他的积分的方法，也是用猜测的方法拟定一个答案的格式，然后用很像 #65 的方法，乘上一个式子然后求积分的。

Scoutfai

原帖由 dunwan2tellu 于 28-5-2006 09:51 PM 发表
有答案的。绝对是 elementary function 来的。
只是我本身也没有任何直接求出他的积分的方法，也是用猜测的方法拟定一个答案的格式，然后用很像 #65 的方法，乘上一个式子然后求积分的。

那么答案是么东东？
＃65的方法是传宗接代的传下来的，要想一个新的是不会容易。
用网上免费的积分工具也找不到答案呢。
你有审查过那答案吗？微分它会得回这个式子吗？
我已经不在学校了，没老师可问。你有问过老师的意见吗？

dunwan2tellu

原帖由 Scoutfai 于 29-5-2006 01:21 AM 发表

那么答案是么东东？
＃65的方法是传宗接代的传下来的，要想一个新的是不会容易。
用网上免费的积分工具也找不到答案呢。
你有审查过那答案吗？微分它会得回这个式子吗？
我已经不在学校了，没老师可问。你有 ...

刚刚发现到 integration by parts 可以解到这题！
可以试试看。

如果要用积分工具的话，必须要 Assuming[x Sin[x]+Cos[x]>0] , 不然不能得到答案。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 29-5-2006 04:09 PM 编辑 ]

Scoutfai

原帖由 dunwan2tellu 于 29-5-2006 09:58 AM 发表


刚刚发现到 integration by parts 可以解到这题！
可以试试看。

如果要用积分工具的话，必须要 Assuming+Cos>0] , 不然不能得到答案。

想不到，公开迷底吧。

dunwan2tellu

别那么快放弃啊！Scoutfai　兄

我再给一个提示

先变形
x^2/(x Sin[x]+Cos[x])^2 = (x Cos[x])/(xSin[x]+Cos[x])^2 * x/Cos[x]

然后　integration by parts

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 30-5-2006 01:43 PM 编辑 ]

Scoutfai

原帖由 dunwan2tellu 于 30-5-2006 01:41 PM 发表
别那么快放弃啊！Scoutfai　兄

我再给一个提示

先变形
x^2/(x Sin+Cos)^2 = (x Cos)/(xSin+Cos)^2 * x/Cos

然后　integration by parts

小人愚钝，不得其解，毫无头绪。还是请贵施主高抬贵手，多多指教。让小的见识当中奥妙，大开眼界。

dunwan2tellu

加上一个 cos x 的目的是使到它可以被积分。因为 d(xSin[x]+Cos[x])/dx = xCos[x]
最后一步是 simplify .