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每周一题(讨论区)
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楼主 |
发表于 8-10-2005 09:57 PM
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楼主 |
发表于 9-10-2005 11:43 AM
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第一题,有人反映不明白名词..
整除 : membahagi tepat , divides
题目要求证明:可以使 n|2^n +1 的 n 共有无穷多个! |
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发表于 9-10-2005 08:25 PM
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发表于 11-10-2005 07:43 PM
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我还是不懂啊,怎么看2^n+1都大于n的,怎么会n/(2^n+1)是整数呢? |
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发表于 11-10-2005 08:19 PM
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你误会了!题目要你证明有很多个n符合 n | 2^n + 1 ,既是 n整除 2^n+1
EX : 3 | 12 表示 3整除12 。
比如试试代入n=1 , 得到 1|3 是对的,因为1整除3。但是n=2时变成 2 | 5 不成立,因为2不整除5。不过n=3又可以哦!所以题目大致上要说的是n不是只有1,3时才符合条件。有很多个数目(除了1,3)都可以符合条件。不过不是靠说说的嘛,所以就要你证明是不是真的咯! |
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发表于 12-10-2005 06:06 PM
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请问是不是要Prove 2^n + 1 is divisible by n, n 是所有的integer??? |
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发表于 12-10-2005 08:07 PM
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要prove "2^n+1 可以被很多个整数 n 整除" ,不是prove "2^n+1 能被 所有的整数n整除" 。
很明显 2^n+1不可能会被所有的整数 n 整除的,比如 n=2,4,5 ..就不成力了。所以你是无法证明第二个 statement 的(即是"2^n+1 能被 所有的整数n整除" )。
看到当中的差别吗? |
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发表于 13-10-2005 10:02 AM
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有点乱! 看不明白第一题。
意思是不是要证明 (2^n+1)/ n 有很多个可能性? |
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楼主 |
发表于 13-10-2005 03:04 PM
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楼主 |
发表于 13-10-2005 03:07 PM
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第一题 :
证明 :有无穷多个正整数n , 使 n|(2^n +1).
解法 :
经观察,猜测当 n 为 3^k (k是非负整数) 时 , n 可整除 2^n + 1
用归纳法 , 不难看出 k=0 时 , 有n=1 , 所以 1| 3 。 k=1 时 , 有n=3 , 所以 3 | 9
如果 3^k | 2^(3^k) + 1 成立 。我们可设 m = 3^k , 所以 m | 2^m + 1 或2^m+1=mp[#](p为正整数)假设成立
那么当 k 换成 k+1, `3^(k+1) = 3m , 我们要证明 3m | 2^(3m) + 1
但是 我们不难看出
2^(3m) + 1 = (2^m)^3 + 1 = (mp-1)^3 + 1 = (mp)^3 - 3(mp)^2 + 3(mp) = mp ( (mp)^2 -3(mp) +3)
由于 (mp)^2 = (3^k x p )^2 = 3q (q 为整数)
所以 2^(3m) + 1 = mp x 3q = 3mpq 或 3m | 2^(3m) + 1 .
k+1时命题成立。由归纳法 k=0,1,2,3 ....时 都成立 。所以 3^k | 2^(3^k) + 1
因为 n=3^k , 即表示有无穷多个整数 n 满足 n | 2^n + 1 。
(dunwan2tellu的答案)
[ 本帖最后由 多普勒效应 于 13-10-2005 03:10 PM 编辑 ] |
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楼主 |
发表于 13-10-2005 03:12 PM
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第二题
题目:求方程 x^2-y^2 = 32 的所有整数解
解法 :拿模4 , 不难看出 x,y必定同奇同偶 。将方程可写成 (x+y)(x-y)=2^5
由于 x,y同奇偶,故 x+y 和 x-y 是偶数 。所以得到
(x-y,x+y)=(2,16) , (4,8) , (8,4) , (16,2) ,(-2,-16) , (-4,-8) , (-8,-4),(-16,-2)
解得 ( |x| , |y| ) = (9,7) , (6,2) |
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发表于 13-10-2005 03:28 PM
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发表于 13-10-2005 04:00 PM
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哇!那么快就出答案了, 我还以为明天才知道。。
谢谢,多普。 我们等下周的题目吧。 |
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发表于 13-10-2005 08:49 PM
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原帖由 多普勒效应 于 13-10-2005 03:12 PM 发表
第二题
题目:求方程 x^2-y^2 = 32 的所有整数解
解法 :拿模4 , 不难看出 x,y必定同奇同偶 。将方程可写成 (x+y)(x-y)=2^5
由于 x,y同奇偶,故 x+y 和 x-y 是偶数 。所以得到
(x-y,x+ ...
做麼我少了0.5分的=.= |
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发表于 13-10-2005 09:50 PM
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楼主 |
发表于 13-10-2005 10:36 PM
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To 灰羊
您的答案是
(x,y)=(9,7),(-9,7),(6,2),(-6,2)
真正答案是
( |x| , |y| ) = (9,7) , (6,2)
i.e. (x,y) = (9,7),(-9,-7),(-9,7),(9,-7),(6,2),(-6,-2),(-6,2),(6,-2)
(a)^2 = (-a)^2 麻... |
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发表于 14-10-2005 05:25 AM
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发表于 14-10-2005 01:59 PM
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第一题不是只用"看出来"的... 我应该还有前半步的证明(在另一封短消息)不过可能是多谱勒任为不需要所以没贴出来。证明如下
若 n 为素数(prime) p , 则从费马小定理(Fermat Little Theorem),我们知道 p | a^(p-1) - 1 , 但是 a,p必须互质(既是gcd(a,p)=1)。设 a=2 就看得到
p|2^(p-1)-1
因为 p和2 互质
这也表示 2^(p-1) - 1 = pk (k是整数) 或 2^p=2(mod p)
所以,拿mod p 得到 2^p+1 = 2+1=3(mod p)既表示p只可以是3。
就因为这样,才会猜测 n=3^k |
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发表于 14-10-2005 04:10 PM
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我这里有个问题,我还是不懂如何应用mod这东西。
谁可以大约解释一下。。。 看来很多以前的问题都有关系到mod. |
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