每周一题(讨论区)

多普勒效应

啊..
谢谢提醒！
不好意思，看错了。

灰羊

唉唷.....
代錯了=.=

還有第二題我是用GP公式的

[ 本帖最后由 灰羊 于 28-10-2005 09:36 PM 编辑 ]

Kyusuke_FD3S

原帖由 hamilan911 于 28-10-2005 08:22 PM 发表

设2^(1/3) = a
x = a^2 + a + 1
乘上 (a - 1)/(a - 1)
所以 x = (a^3 - 1)/(a - 1)
       =  1/(2^(1/3) - 1)
过后就简单了。。。
灰羊第一题的答案错了，是多普勒贴错吗？？
答案应该是 1/2 - 1/2004！

原来是这样...

多普勒效应

第一期最后一周题目贴出来了！

大家可以开始解题！

Legend

数学题真的很难，索性答BONUS题好了。。。因为"不可过桥"是桥的名

多普勒效应

本月第一名为 dunwan2tellu
    第二名为 hamilan911
    第三名为 灰羊

这期参赛人数极少，而且小弟考试将至，
每周一题将在十二月继续!

希望各位邀请更多人来参与这个比赛。

多普勒效应

dunwan2tellu

1)
题目：有理化 (cos42+cos102+cos114+cos174)^2
解法:
因为 cos42+cos102 = 2cos72cos30 ,
cos114+cos174 = 2cos144cos30 = -2cos36cos30

所以题目简化成 4(cos30)^2(cos72-cos36)^2 = 3(cos72-cos36)^2
但是我们知道
cos72-cos36 = (sin36cos72 - sin36cos36)/sin36
= 1/2 x (sin108-sin36-sin72)/sin36
= 1/2 x (sin72-sin36-sin72)/sin36
= -1/2

所以最后得   (cos42+cos102+cos114+cos174)^2 = 3/4


2)
题目：求∑k/(k^4+k^2+1) ,k从1到100 , 的值.
解法:
分解得 k^4+k^2+1 = (k^2-k+1)(k^2+k+1)
所以 k/(k^4+k^2+1) = 1/2 { 1/k^2-k+1 - 1/k^2+k+1}

因此 ,
∑k/(k^4+k^2+1) = 1/2 ∑{ 1/k^2-k+1 - 1/k^2+k+1}
= 1/2 { 1- 1/10101} = 5050/10101

多普勒效应

hamilan911

多普勒效应

灰羊

dunwan2tellu

在这里贴答案吧（当然是比过的题目）。不知有没有较另类的解法呢？

每周一题开始了都不知道，现在慢慢来。刚刚解出第二期（一）的第一题，想来过时了，就直接发上来了。
x+y+z=9-------------------(1)
x²+y²+z²=41--------------(2)
x³+y³+z³=189------------(3)
由 (1)^2-(2)可得 xy+yz+xz=20----------------(4)
(1)﹡(4)可得 x²y+xy²+y²z+yz²+x²z+xz²+3xyz=180
即x²y+xy²+y²z+yz²+x²z+xz²+3xyz=x³+y³+z³-9
合并同内项得x²(x-y-z)+y²(y-x-z)+z²(z-x-y)=3xyz+9
将9-x=y+z 9-y=x+z 9-z=y+x分别带入，得
x²(2x-9)+y²(2y-9)+z²(2z-9)=3xyz+9
即2(x³+y³+z&sup3-9(x²+y²+z&sup2=3xyz+9
2*189-9*41=3xyz+9
xyz=0 哈哈，大家看出来了吧？xyz 3个中有一个是0，随便带哪一个都可以解出来了（事实上我猜出来的），剩下的两个就是4和5，不过严格来说这题是6个解

多 普 勒 兄， 为 什 么 第2 期 第2 题 我 的 分 数 只 有1 分？

多普勒效应

你的第一题错了，设incenter是I,IM不一定是圆心。
第二题也错了一些。试一湿代会进去看！

dunwan2tellu

做直线DM使到 <DMB = <NCB 而且 DM = BC . 因为BM=CN , DM=BC,<DMB=<NCB , 故 DMB 和 BCN 全等。所以 DB = BN .

设<NBM=<MBC = a  , <BCN=<NCM = b . 所以

<DBC = <DBN + 2a .

但是 <BDM = <NBC = 2a .所以 <DBN = 180 - 3a - b

因此 <DBC = 180-a-b .
而且 <DMC = <DMB + <BMC = b+(180-a-2b)= 180-a-b

所以 <DBC = <DMC .

由于 2a+2b < 180 --> a+b < 90 ---> 180-a-b > 90.
用sine rules ,

DC/sin(a+b) = BC/sin(BDC)
DC/sin(a+b) = DM/sin(DCM)

==> <BDC=<DCM (同样是acute angle）。
==> BDC 和 MCD 全等。
==> BD＝MC

结合之前 BD=BN 得到 BD=BN=MC . 所以 NBC 和 MCB 全等。从而得证 <NBC = <MCB --> a=b --> ABC 是等腰。


*注:以上是Steiner Theorem ,并非本人的解法。

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 31-12-2005 12:23 AM 编辑 ]

多普勒效应

第二期
                     (1)       (2)       (3)        (4)    总分
dunwan2tellu         5.0       5.0       5.0        5.0        20.0
hamilan991           5.0       4.0       4.5         5.0         18.5
SherlockHolmes       4.0       1.0       0.5        5.0        10.5
Kyusuke_FD3S          -        2.0        -         5.0        7.0
史奴比{^_^}           -        1.0        -         5.0        6.0



本月第一名为 dunwan2tellu
    第二名为 hamilan911
    第三名为 SherlockHolmes

由于参赛人数太少，每周一题将暂停。

[ 本帖最后由 多普勒效应 于 11-1-2006 10:07 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

可惜！没多人参加。haizz ...

对不起,冒然打扰...想请教大家,怎样直接在casio fx-570W 的计算机,解三次方的功式?eg. x^3 + 8x^2 + 20x + 20... 十万火急,望大家能伸出援手,谢谢! 小弟电邮为 no7_alfred@hotmail.com

kelfaru

回复 77# 6230

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3+%2B+8x^2+%2B+20x+%2B+20