OMK历年题目

在下有几年的OMK历年题目，想和大家分享，不知各位做过了吗？

1. OMK 1998, Muda #1
在我前面排队的人数是多过在我后面排队的人数１３人。整个队伍是在我后面排队的人数的四倍。求在我前面排队的人数。

2. OMK 1998, Muda #2


                     15
              10  14
         6   9    13
     3  5   8   12
1  2   4   7    11

所有的positive number都是跟着这样的pola排下去。求62th and 46th row 的号码.

3. OMK 1998, Muda #3
P 是一个点在一个四方形里。它的距离与四方形的bucu分别是a,b,c,d. 证明a^2 + b^2 = c^2 + d^2。这是否也是正确如果P是在四方形外？

4. OMK 1998, Muda #4, Sulong #2
在一个三角形ABC，tanA, tan B & tan C 的 ratio 是 １：２：３。试找出AC ： AB.

5.  OMK 1998, Muda #5, Sulong #3
Function f 符合 f(1) + f(2) + ... + f (n) = n^2 f(n), f 是 positive integer. f(1) = 999, 求 f(1998)

6. OMK 1998, Sulong #1
x & y 是奇数。证明x^2 + y^2 不可能作出nombor kuasa dua sempurna.

7. OMK 1998, Sulong #4
三角形ABC 的AB小过BC， BC 小过AC。 Titik A', B', C' adalah sedemikian hingga AA' serenjang dengan BC dan AA' = BC, BB
serenjang dengan AC dan BB' = AC, CC' serenjang dengan AB dan CC' = AB. 如果<AC'B = 90度， 证明A', B' & C' kolinear (i.i A', B' & C' 在线上).

8. OMK 1998, Sulong #5
tunjukkan bahawa tidak wujud integer positif (x,y,z) yang merupakan penyelsaian bagi 3^x + 4^y = 5^z selain daripada (2,2,2).

对于在下超烂的翻译，在下先在此致上万二分的歉意。

[ 本帖最后由 anonimo 于 2-5-2006 08:25 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

7）左图则会发现 C' 在 ABC 内，A'和 B' 在 ABC 外。设 AA',BB',CC' 交于点 H . BB' 交 AC' 于 M ; AA'交 BC'于 N .设 <BC'A' = x , <AC'B' = y , <C'AH = a , <C'BH = b 则

<AA'C' = 180 - <C'AH - <AC'A' = 180 - a - ( <AC'B + <BC'A')
= 180-a-(90 + x) = 90 - a - x ...(i)

<BB'C' = 180 - <C'BH- <B'C'B = 180- b - (<B'C'A + <AC'B)
=180 - b - (y + 90) = 90 - b - y ....(ii)

<C'MB = 90 - <C'BM = 90 - <C'BH = 90 - b
<C'NA = 90 - <C'AN = 90 - <C'AH = 90 - a

==> <B'HA' = 360 - <C'MB - <C'NA - <AC'B
=360 - (90-b) - (90-a) - 90
=90 + a + b

又 <AA'C' + <BB'C' + <B'HA' = 180

所以 (90-a-x)+(90-b-y)+(90+a+b) = 180 ==> x+y = 90

<==> <BC'A'+<B'C'A+<AC'B = x+y+90 = 180 . 所以 A', B', C' 共线。

dunwan2tellu

4)有一个很好用的 trigo identity 可以用。和三角形 tan 有关。
6）考虑用 mod 4
8）提示：用 mod 3 , mod 4 来推论出 z 和 x 是偶数 ....



[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 2-5-2006 07:39 PM 编辑 ]

9. OMK 1999, Muda #1
以没有算punca的方法，证明7^(5^1/2) > 5^(7^1/2)

10. OMK 1999, Muda #2
一个电视机的原售价是RM1999.00。在一个大减价中给了八折。大减价后又上了20%。又有一个大减价时，他又給了八折。大减价后，价钱又上了20%。找出最新的价钱和原价相差几巴仙。

11. OMK 1999, Muda #3
PQRS 是一个trapezium。PQ//SR & <PSQ = <QSR = <QRP = <PRS = 30度
如果T是RS的中间，证明PQRS的面积 ＝ ３PST的面积

12. OMK 1999, Muda #4, Sulong #1
如果a^2 + b^2 = 1和 c^2 + d^2 = 1, 证明(ac + bd)^2 <= 1

13. OMK 1999, Muda #5, Sulong #2
Selesaikan sistempersamaan nombor nyata bagi
x_1 + x_2 + ... + x_1999 = 1999
(x_1)^4 + (x_2)^4 + ... + (x_1999)^4 = (x_1)^3 + (x_2)^3 + ... + (x_1999)^3.

14. OMK 1999, Sulong #3
找出有几个方法可以从P到Q。所用的路线只可以从上到下，左到右在以下的格子里。

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15. OMK 1999, Sulong #4
如果a,b,c是一个三角形的sisi, 证明a^2(b+c-a) + b^2(c+a-b) + c^2 (a+b-c) <=3abc.

16. OMK 1999, Sulong #5
列出全部符合
x + y + 4/(x-1) + 4/(y-1) - 2((x+3)^1/2) - 2((y+3)^1/2) = 0
的 nombor nyata x,y > 1

dunwan2tellu

9)既然不能找 sqrt{5} ，sqrt{7} 的 power , 就用 approx 的方法来求。

12）想想 trigo identity 有什么是 a^2 + b^2 = 1 的 pattern 的....

15)可以用 rearrangement ineq 来做. 不过它其实是 schur inequality (看“初等不等式”的贴。）

16) 设 f(t) = t + 4/(t-1) -2sqrt{t+3} , t >= 1 ,然后证明 f(t) >= 0 , for t>=1


**搂主是否向 UKM 当局 购买 OMK　的　ｐａｓｓ　ｙｅａｒ呢　？

原帖由 dunwan2tellu 于 2-5-2006 07:37 PM 发表
4)有一个很好用的 trigo identity 可以用。和三角形 tan 有关。
6）考虑用 mod 4
8）提示：用 mod 3 , mod 4 来推论出 z 和 x 是偶数 ....

4. 用Teorem Pythagoras应该可以了吧?

原帖由 dunwan2tellu 于 3-5-2006 08:24 PM 发表
9)既然不能找 sqrt{5} ，sqrt{7} 的 power , 就用 approx 的方法来求。

12）想想 trigo identity 有什么是 a^2 + b^2 = 1 的 pattern 的....

15)可以用 rearrangement ineq 来做. 不过它其实是 schur inequ ...

12. 用quadratic equation
15. 用Jansen's inequality

P/S: 不是向UKM当局购买的

[ 本帖最后由 anonimo 于 4-5-2006 03:12 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 anonimo 于 4-5-2006 02:59 PM 发表

4. 用Teorem Pythagoras应该可以了吧?

用 tanA + tanB + tanC = tanA*tanB*tanC 的话很快就可以求得 tanA=1 ,tanB=2,tanC=3 ...

原帖由 anonimo 于 4-5-2006 03:11 PM 发表

12. 用quadratic equation
15. 用Jansen's inequality

P/S: 不是向UKM当局购买的

12) quadratic 的解如何？不过只要用　trigo 特征，就可以用 substitution method i.e  let a = sin x , b=cos x , c=sin y,d=cos y ....

15) Jensen on which function ?

原帖由 dunwan2tellu 于 4-5-2006 03:23 PM 发表


用 tanA + tanB + tanC = tanA*tanB*tanC 的话很快就可以求得 tanA=1 ,tanB=2,tanC=3 ...



12) quadratic 的解如何？不过只要用　trigo 特征，就可以用 substitution method i.e  let a = sin x , b=c ...

12.
(ax + c)^2 + (bx + c)^2 >= 0
x^2 + 2 (ac + bd)x + 1>= 0
quadratic function f(x) >= x^2 + 2 (ac + bd)x + 1
f(x) >= 0 <=> B^2 - 4AC <= 0
4(ac + bd)^2 <= 4
(ac + bd)^2 <= 1

15.
let a = x + y; b = y + z; c = z + x
x >= y >= z
xy >= xz >= yz
substitute a = x + y; b = y + z; c = z + x in, we get

x^2.y + x^2.y + y^2.x + y^2.z + z^2.x + z^2.y >= 6xyz

Jensen's inequality gives
x.xy + y.yz + z.xz >= x.yz + y.xz + z.xy --- 1
and x.xz + y.xy z.yz >= x.yz + y.xz + z.xy --- 2

1 + 2:
x^2.y + x^2.y + y^2.x + y^2.z + z^2.x + z^2.y >= 6xyz

dunwan2tellu

原帖由 anonimo 于 5-5-2006 05:55 PM 发表


12.
(ax + c)^2 + (bx + c)^2 >= 0
x^2 + 2 (ac + bd)x + 1>= 0
quadratic function f(x) >= x^2 + 2 (ac + bd)x + 1
f(x) >= 0 <=> B^2 - 4AC <= 0
4(ac + bd)^2 <= 4
(ac + ...

12）不错。一题多解！
15)其实那不叫 Jensen , 应该是 rearrangement inequality 啦！

不过如果 simplyfy 到 SUM a^2b >= 6abc ,那么只需要 AM-GM 就可以了

楼主是哪里人啊？还在求学阶段吗？

17. OMK 2000, Bongsu #1
一张支票是开给 x 令吉 y 仙（x 和 y 都是两位数）。 但，那张支票写着的是 y  令吉 x 仙，多出真正要开的支票之数目RM25.74。找出符合以上情况的最大数目。

18. OMK 2000, Bongsu #2
在一个正方行ABCD里，M 把AB分成两个部分m, n. MD 和AC 在 P 交叉。 证明P把AC 分成m: m + n.

19. OMK 2000, Bongsu #3
找出integer n 的形式， so that n^2 + 7 可以被８整除。

20. OMK 2000, Muda #1
找出符合
(x-99)(x-101)(x-103)(x-105) + 16 = 0
的 x

21. OMK 2000, Bongsu #4, Muda #2
1/2! + 2/3! + 3/4! + ... + n/(n+1)! <= 0.999
n! = n(n-1)(n-2)...3.2.1
找出所有n自然数

22. OMK 2000, Muda #3, Bongsu #5
在三点和四点之间，在几点时时钟的分针和时针是排成一条直线的？请把答案进成最靠近的分钟。

23. OMK 2000, Muda #4, Sulong #1
f 是一个fungsi yang tertakrif pada nombor nyata, f berkala 如果 x E R, f(x+k) = f(x) untuk suatu k E R. 证明 f 符合 f(x) = f(x-3)f(x+3) 和 f(x) /= 0 untuk setiap x E R fungsi berkala.

24. OMK 2000, Muda #5, Sulong #2
三个半径一公分的珠子放置在桌面上。那些珠子dibendung secara bersentuhan dan padat oleh gelung bulatan. 找出桌上bulatan gelung 的面积。

25. OMK 2000, Sulong #3
证明任何一个integer p & q, 2^2p  + 2^2q 的值不可能是nombor kuasa sempurna.

26. OMK 2000, Sulong #4
证明如果我们把十个不同的点放在一个直径５的圆圈里，我们能得到两个点的距离是少过２的。

27. OMK 2000, Sulong #5
ABC 是一个有a,b,c 边的三角形和角度x,y,z. 如果x = 3y, 证明(a+b)(a-b)^2 = bc^2.

原帖由 dunwan2tellu 于 5-5-2006 06:06 PM 发表


12）不错。一题多解！
15)其实那不叫 Jensen , 应该是 rearrangement inequality 啦！

不过如果 simplyfy 到 SUM a^2b >= 6abc ,那么只需要 AM-GM 就可以了

楼主是哪里人啊？还在求学阶段吗？

哦。原来如此。在下的知识有限，请多多指教。第一次上到逻辑数学这里时，差点被吓跑了。
偶是来自宇宙的。 有谁不是在学习的呢？Learning is a lifelong journey

[ 本帖最后由 anonimo 于 6-5-2006 12:11 AM 编辑 ]

dunwan2tellu

18)注意到 AMP 和　CDP　是相似三角形

19) 任何整数的平方 mod 8 只能是　0,1,4 ...

25) 任何 a^2 + b^2 (mod 3) 只能是　0,1

27)做线　ＡＭ　使　Ｍ　交于　ＢＣ ，而　<BAM = y , <MAC = 2y .那么　AMB , MCA 都是等腰三角形。之后用　sin rule 和　trigo identity 　

28. OMK 2001, Bongsu #1
老板告诉他的收银员给25%折扣在一个大减价里。那位收银员却弄错，把价钱升25%。试问那位收银员必须给多少折扣才能使到物品的价钱和他老板要的一样？

29. OMK 2001, Bongsu #2
一本书的页数是1,2,3,....。如果把这些页数加起来，可以得到2001。其中一页算到两次。试找出算到两次的那个页数。

30. OMK 2001, Bongsu #3
A＆B是两个不同点在同一个satah里。找出可以让ABC变成三角形的全部C(在同一个satah里的)

31. OMK 2001, Bongsu #4, Muda #1
一个2001-gon的每一边长度是nombor asli.如果他的所有的边加起来是200300, 证明有至少两个边是同样长的。

32. OMK 2001, Bongsu #5, Muda #2
找出全部6(m + n) = mn (在一个nombor asli 的set) 的penyelesaian.

33. OMK 2001, Muda #3
找出全部符合a^2 + b = b^2001 的整数(a,b)

34. OMK 2001, Muda #4, Sulong #1
a,b,c是三角形ABC 的边。D是BC的中间点。证明AD=t 符合
t^2 = (2b^2 + 2c^2 - a^2)/4

35. OMK 2001, Muda ^5, Sulong #2
f(x) = x^2/(x^2 + 1). 找出
f(1/2001) + f(2/2001) + ... + f(2000/2001) + f(2001/2001) + f(2001/2000) + ... + f(2001/2) + f(2001/1)
的值。

36. OMK 2001, Sulong #3
a,b,c是三角形ABC 的边。x,y,z 是 他们的对面角度。证明
(b/c + c/b)kos x + (c/a+a/c)kos y + (a/b+b/a)kos c = 3

37. OMK 2001, Sulong #4
x,y,z 是正数。证明
x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) >= 3/2

38. OMK 2001, Sulong #5
找出最大的正整数so as 每一个整数n都是
n(n+1)^2(n+2)^3(n+3)^4
的公约数。

原帖由 dunwan2tellu 于 6-5-2006 11:44 AM 发表
18)注意到 AMP 和　CDP　是相似三角形

19) 任何整数的平方 mod 8 只能是　0,1,4 ...

25) 任何 a^2 + b^2 (mod 3) 只能是　0,1

27)做线　ＡＭ　使　Ｍ　交于　ＢＣ ，而　<BAM = y , <MAC = 2y .那 ...

题题对答如流，似乎毫不费脑力。究竟是何方神圣？

hamilan911

原帖由 anonimo 于 6-5-2006 06:14 PM 发表
28. OMK 2001, Bongsu #1
老板告诉他的收银员给25%折扣在一个大减价里。那位收银员却弄错，把价钱升25%。试问那位收银员必须给多少折扣才能使到物品的价钱和他老板要的一样？

29. OMK 2001, Bongsu #2
一本书 ...

29.用Janjang Arimetik.

31.1+2+...+2001 = 2003001,所以必有两条边一样长。

32.(m-6)(n-6) = 36  ，再分解36的因数找出m,n。

33.用 f(x) + f(1/x) = x^2/(x^2 + 1) + 1/(x^2 + 1) = 1

37.用AM>=HM.

dunwan2tellu

hamilan911 ,你的 "33" 应该是 35 吧？

23)想办法证明 f(x+18) = f(x) ....

24)如果桌子半径是 R ,球半径是 r , 用 cosine rule 可得到
  (2r)^2 = 2(R-r)^2 ( 1 - cos 120)

33) 写成 a^2 = b(b^2000 - 1) ,且注意到 gcd(b,b^2000-1) = 1 , 因此 b 和 b^2000-1 都必须是平方数。但是
      (b^1000-1)^2 < b^2000 - 1<(b^1000)^2 ....

34) 基本 cosine rule 的运用。

36) 先 regroup terms 后用 identity a cosB + b cosA = c  ...etc ...  

38）注意到这数目必须只有 2,3 as prime factor 。之后求 a,b 的minimum , where a,b is defined at 2^a , 3^b

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 8-5-2006 02:56 PM 编辑 ]

39. OMK 2002, Bongsu #1
液体A(40%methanol) + 液体B(90%meathanol) = 100 litre 液体C (60%methanol). Sukatan campuran 液体A 和 液体B 的对比是什么？

40. OMK 2002, Bongsu #2
一个平行四方形的边是a & b. 它的pepenjuru分别是 J & j. (J /= j). 找出j^2 + J^2 的关系 in a & b.

41. OMK 2002, Bongsu #3
在2002 年，有一位青少年的年龄是他出世的年份的和。找出他出世的年份。

42. OMK 2002, Bongsu #4, Muda #1
写出如何把2002 写成正整数的和 a_1 + a_2 + ... + a_n = 2002. a_1(a_2)...(a_n) 必须是最大的数目。找出那个最大的数目。

43. OMK 2002, Bongsu #5, Muda #2
一楼和二楼的楼梯有15格。如果你只被允许一次上一格或两格，请问你可以有多少方法上二楼？

44. OMK 2002, Muda #3
找出有多少个正整数是符合 x + y < 2002 的。

45. OMK 2002, Muda #4, Sulong #1
证明 5^4 + 4.3 ^ 4n, (n 是自然数），不是质数。

46. OMK 2002, Muda #5, Sulong #2
一个中心在O的圆圈里有四个中心分别是A, B, C & D的圆圈， 半径是J，直到里面的每个圆圈都能碰到它和其它两个圆圈。有一个小圆圈的中心是O和半径是j的可以画至碰到其他的４个圆圈。试找出j。

47. OMK 2002, Sulong #3
证明 cos(2pi/5) + cos (4pi/5) = -1/2 (不可以用计算机）

48. OMK 2002, Sulong #4
x_1, x_2, ..., x_2002 是正实数。x_1 + x_2 + ... + x_2002 = 2002.
证明 x_1/(1 + x_1^2) + x_2/(1 + x_2^2) + ... + x_2002/(1 + x_2002^2) <= 1/(1 + x_1) + 1/(1 + x_2) + ... + 1/(1 + x_2002)

49. OMK 2002, Sulong #5
找出全部函数 bernilai nyata f yang tertaktrif pada set nombor positif 直到可以获得正实数
(i) f(xy) = f(x) f(m/y) + f(y) f(m/x) [x & y 都是正数］
(ii) f(1) = 1/2

PS: 在下有的OMK题目只是到2002年。请问有谁有2003 - 2005年的吗？

hamilan911

原帖由 anonimo 于 8-5-2006 02:39 PM 发表
39. OMK 2002, Bongsu #1
液体A(40%methanol) + 液体B(90%meathanol) = 100 litre 液体C (60%methanol). Sukatan campuran 液体A 和 液体B 的对比是什么？

40. OMK 2002, Bongsu #2
一个平行四方形的边是a & ...

39.
0.4a + 0.9b = 60
a + b = 100
b= 40   a = 60   a:b  = 3:2

41.
1 + 9 + a + b = 102 - 10a - b
92 = 11a + 2b
用diophantine得a=8 , b=2

42.用AM>=GM.可得最大数目为2^1001.

43.是Fibonacci Sequence。

44.等于1+2+...+2000 = 2000(2001)/2 = 2001000

45.用a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2)^2 - 4a^2.b^2 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)

dunwan2tellu

42 ）不是用 AM-GM 的！你必须找一种排法，使到他们的 积，最大。答案是
3 + 3 + ... + 3 + 2 + 2 = 2002 (666 个 3, 2 个 2) 注意到 3+3=2+2+2 , 但是 3x3 > 2x2x2 ...