感叹号！Factorial :)

dunwan2tellu

之前看到每周一题出 y^2 = 1! + 2! + 3! + ... + n! 的题目。我也有一题挺不错的

求正整数 a,b,c ,使到

a!b! = a! + b! + c!

chiaweiwoo1

dunwan2tellu

原帖由 chiaweiwoo1 于 19-12-2006 07:26 PM 发表

a=b=3 , c=4 的却是唯一的一幅答案。

我的做法是先证明一定要 a = b 才有解。

chiaweiwoo1

继续。。。。。。。

dunwan2tellu

当 a = b ,

(a!)^2 = 2a! + c!

=> a!(a!-2) = c!

注意到 gcd(a!,a!-2) = 2

bomber27

原帖由 chiaweiwoo1 于 25-12-2006 04:52 PM 发表
继续。。。。。。。

我是用quadratic formula 来算，后来拿到 a!=1+sqrt(1+c!)
4个连续数相乘后加1，会形成一个完全平方数，所以 c可能是4或5。
然后淘汰5，c＝4,a=b=3。

dunwan2tellu

原帖由 bomber27 于 25-12-2006 06:15 PM 发表

我是用quadratic formula 来算，后来拿到 a!=1+sqrt(1+c!)
4个连续数相乘后加1，会形成一个完全平方数，所以 c可能是4或5。
然后淘汰5，c＝4,a=b=3。

4 个连续整数的积 + 1 的却是 square number . 但并不表示 n (=/= 4 )个连续整数的积 + 1 一定不是 square number

bomber27

原帖由 dunwan2tellu 于 25-12-2006 06:51 PM 发表


4 个连续整数的积 + 1 的却是 square number . 但并不表示 n (=/= 4 )个连续整数的积 + 1 一定不是 square number

是咯，7！+1＝71²
gcd这玩意。。只学过怎么算，没学过怎么用。。大汗

[ 本帖最后由 bomber27 于 25-12-2006 11:30 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

原帖由 bomber27 于 25-12-2006 06:57 PM 发表

是咯，7！+1＝71http://chinese.cari.com.my/myforum/images/smilies/loveliness.gif
gcd这玩意。。只学过怎么算，没学过怎么用。。大汗

gcd 是一个不错的技巧。
比如 要找 a(a+1) = b^2 的整数解。

因为 gcd(a.a+1) = 1 所以他们没有共同的 factor . 所以一定是 a = m^2 , a+1 = n^2 where mn = b 而且 gcd(m,n)=1

从而得到 (n-m)(n+m) = 1 ==> n = 1 , m = 0  ==> a = b = 0 是唯一解。

在上面的题目，因为 gcd(a! ,a!-2) = 2 ,所以 a! 和 a!-2 的 common factor = 2 . 这就足够与告诉我们 a!-2 只能被 2 整除，却不能被 4 整除

chiaweiwoo1

dunwan2tellu怎样证明a=b啊？我的证明太长了。。。。。。。

[ 本帖最后由 chiaweiwoo1 于 25-12-2006 07:49 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

好吧，我的方法其实和你的idea 差不多

let a = min{a,b} then from a!+b!+c!=a!b! we must have c >= a (考虑 mod a! )

(a!-1)b! - c! = a!

if b > c then c![(a!-1)k - 1] = a! where k = b!/c!
所以必须要 c = a ,也就是 (a!-1)k = 2 ,不过无解（因为必须 a=c=2 , 得到 b!=4)

所以 b =< c 从而 b![(a!-1) - m] = a! , where m = c!/b!
那么就必须有 b = a (因为 b >= a)